數學物理導論/向量空間

定義

設 $K$ 為 $R$ 或 $C$。一個集合 $E$ 是一個向量空間，如果它具有由兩個運算 $+$ 和 $.$ 定義的代數結構，使得 $E$ 中任意兩個元素的線性組合都在 $E$ 內。更精確地說

定義

一個集合 $E$ 是一個向量空間，如果它具有由兩個運算定義的代數結構，一個叫做組合律，記為 $+$，另一個叫做作用律，記為 $.$，這些運算滿足

$(E,+)$ 是一個交換群。

$\forall (\alpha ,\beta )\in K\times K,\forall x\in E\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$ $\forall x\in E,1.x=x$ 其中 $1$ 是 $.$ 運算的單位元素。

$\forall (\alpha ,\beta )\in K\times K,\forall (x,y)\in E\times E(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x{\mbox{ and }}\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$

函式空間

定義

函式空間是具有向量空間結構的函式集合${\mathcal {F}}$。

在某個區間上連續的函式集合是一個函式空間。正函式集合不是一個函式空間。

定義

泛函$T$是${\mathcal {F}}$到$C$的對映。

$<T|\phi >$表示泛函$T$作用在函式$\phi$上得到的數。

定義

如果對於${\mathcal {F}}$中的任意函式$\phi _{1}$和$\phi _{2}$，以及任意複數$\lambda _{1}$和$\lambda _{2}$，都滿足 

$<T|\lambda _{1}\phi _{1}+\lambda _{2}\phi _{2}>=\lambda _{1}<T|\phi _{1}>+\lambda _{2}<T|\phi _{2}>$

定義

空間${\mathcal {D}}$是無限可導且具有有界支撐的函式向量空間。