數值方法導論/積分

資源

• 梯形法則筆記
• 辛普森 1/3 法則筆記
• 龍貝格法則筆記
• 離散函式積分筆記

微積分基本定理指出微分和積分是互逆運算：當一個連續函式先被積分再被微分，或者反過來，都會得到原始函式。但是，被積函式 $f(x)$ 可能只在某些點已知，例如從實驗或採樣中測量的資料，這在計算機應用中很常見。 有時，即使知道被積函式的公式，也難以或不可能找到其在基本函式形式下的原函式，例如 $f(x)=exp(-x^{2})$ 的原函式，無法寫成基本函式形式。 計算數值積分（近似值）可能比符號求解積分更容易。

https://mathworld.tw/NumericalIntegration.html

梯形法則

梯形法則將函式 $f(x)$ 曲線下的面積近似為梯形

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right].$

實際上，我們使用兩個樣本估計了平均函式值。

梯形法則屬於一類稱為牛頓-柯特斯公式的公式（在等間距點處評估被積函式）。 另一種看待它的方式是梯形法則用一階多項式近似被積函式，然後將多項式在積分割槽間上積分，如圖所示。

函式 f(x)（藍色）用線性函式（紅色）近似。

多段梯形法則可以透過使用一系列樣本來提高近似值的精度

梯形法則在一系列樣本（在本例中，是非均勻網格）上使用情況的說明。

讓我們看看一個 例子，它近似計算了游泳池的面積。

辛普森 1/3 法則

辛普森法則是一種數值積分方法，它使用以下近似公式

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].$

辛普森法則可以透過將被積函式近似為二階多項式（二次）函式來推導，如圖所示

辛普森法則可以透過將被積函式 f (x)（藍色）用二次插值函式 P(x)（紅色）來推導。

$P(x)=f(a){\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-x2-x3....-m)}{(b-a)(b-m)}}.$

另一種看待它的方式是辛普森法則擴充套件了梯形法則，其中被積函式被二階多項式近似。

提供了一個 辛普森法則的示例實現。

龍貝格法則

梯形法則產生的真實誤差與段數的立方成反比。 理查森外推法 是一種序列加速方法，透過細化這些誤差來獲得更好的估計。 理查森外推法的實際應用是龍貝格積分。

提供了一個 幾何示例。

http://www.oscer.ou.edu/AreaUnderCurveExample.pdf

離散函式的積分

具有不等段的梯形法則可用於積分離散函式，這些函式由一組資料點定義。 插值方法（例如多項式插值和樣條插值）可以應用於找到函式輪廓，該輪廓可以作為連續函式進行積分。 此外，線性迴歸也可以用於相同的目的。

多維積分

蒙特卡洛方法是一種利用重複隨機抽樣獲取數值結果的計算方法。對於估計多維積分，與使用一維方法的重複積分相比，蒙特卡洛方法在相同函式評估次數下可能獲得更高的精度。

例如，我們可以估計 $\pi$ 的值，如 示例 中所示。

蒙特卡洛方法應用於近似 模板：Pi 的值。放置 30000 個隨機點後，模板：Pi 的估計值在實際值的 0.07% 之內。這種情況發生的機率約為 20%。

計算機圖形學中的 路徑追蹤演算法 將蒙特卡洛方法應用於渲染 3D 場景。它使用重複隨機取樣來實現更精確的估計，使其成為現有的最精確的 3D 圖形渲染方法之一 來源。