誤差測量

在本課中，我們將學習如何量化誤差。

學習目標

參考資料

真誤差和相對真誤差

真誤差 ( $E_{t}$ ) 被定義為真值（精確值）與近似值之間的差。這種型別的誤差只有在真值可用時才能測量。你可能會想，為什麼我們使用近似值而不是真值？一個例子是，由於符號系統的限制或我們使用的物理儲存的限制，真值無法精確表示。

true error ( $E_{t}$ ) = true value - approximate value

真誤差不能說明誤差的重要性。例如，測量人的體重時，0.1 磅的誤差非常小，但測量藥物劑量時，同樣的誤差可能是災難性的。相對真誤差 ( $\epsilon _{t}$ ) 被定義為真誤差與真值的比率。

relative true error ( $\epsilon _{t}$ )   = true error / true value

通常我們不知道真值，尤其是在數值計算中。在這種情況下，我們將不得不使用僅使用近似值來量化誤差。當使用迭代方法時，我們會在每次迭代結束時得到一個近似值。近似誤差 ( $E_{a}$ ) 被定義為當前近似值與前一次近似值之間的差（即迭代之間的變化）。

approximate error ( $E_{a}$ ) = present approximation – previous approximation

類似地，我們可以透過將近似誤差除以當前近似值來計算相對近似誤差 ( $\epsilon _{a}$ )。

relative approximate error ( $\epsilon _{a}$ )  = approximate error / present approximation

假設我們的迭代方法隨著迭代的進行會產生更好的近似值。通常我們可以設定一個可接受的容差，當相對近似誤差足夠小時，就可以停止迭代。我們通常根據有效數字的數量來設定容差 - 這些數字是有意義的，有助於它的精度。它對應於科學記數法中用於表示數字的尾數或尾數的數字數量。

最小化誤差的近似規則如下：如果絕對相對近似誤差小於或等於預定義的容差（通常以有效數字的數量表示），則已達到可接受的誤差，無需再進行迭代。根據絕對相對近似誤差，我們可以使用相同的公式推匯出最少的有效數字。

 $|\epsilon _{a}|\leq 0.5\times 10^{2-m}\%$