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一個微分方程是一個將某個函式與其導數聯絡起來的方程。這種關係通常存在於動態系統建模中，其中一個量的變化率受另一個量的影響，該量可以是其他量的函式。因此，微分方程通常用於在許多學科中數學地表示這些關係，包括工程、物理學、經濟學和生物學。我們將重點關注常微分方程，它不涉及偏導數。

微分方程的解是滿足該方程的函式或函式集。一些具有明確公式的簡單微分方程可以透過解析方法求解，但我們始終可以使用數值方法使用計算機以一定精度來估計答案。

http://martinfowler.com/bliki/TwoHardThings.html "計算機科學中的兩件難事：快取失效、命名事物和 off-by-one 錯誤。"

初始值問題

一階微分方程的一般形式： $y'=f(x,y)$ 或 $y'=f(x,y(x))$ 。解包含一個任意常數（積分常數），因為 $z(x)=y(x)+c$ 滿足所有微分方程 $y(x)$ 滿足。使用輔助條件，例如 y(a)=b，我們可以解出 y'=F(x, y)。這被稱為初始值問題。

函式 $f(x)$ 的不定積分是一類函式 $F(x)$ ，使得 $F'(x)=f(x)$ 。不定積分也稱為反導數。函式在固定區間上的定積分是一個數字。

與積分的聯絡

計算積分 $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ 是要找到一個 $F(x)$ 滿足條件 ${\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)$ ， $F(a)=0$ 。換句話說，積分可以用來解出具有初始條件的微分方程。

尤拉方法

尤拉方法使用逐步方法來解決具有初始條件的常微分方程。

給定 ${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$ 和 $y(x_{0})=y_{0}$ ( $x$ 是自變數， $y$ 是因變數) 尤拉方法求解 $y_{i}$ 對於 $x=x_{i}$ .

尤拉方法可以透過多種方式推匯出來。讓我們看看一個地理描述。

鑑於在特定點 $(x_{i},y_{i})$ ${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$ ，我們可以用 ${\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}$ 來近似 $f(x_{i},y_{i})$ 。導數表示 $y$ 在 $x$ 處的瞬時（連續發生）變化。

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {dy}{dx}}=y'(x)

$y$ 在 $x$ 上的平均變化是

{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

,

它表示變化的離散形式（隨時間的“步長”變化）。如果 $x$ 的變化足夠小，則兩者中的任何一個都可以用來近似另一個。

假設我們知道未知曲線的導數函式，並想找到曲線的形狀（滿足微分方程的函式）。我們可以從一個已知點開始，使用微分方程作為公式來獲得曲線上任意點的切線的斜率，並沿著該切線走一小步，直到下一個點。如果步長足夠小，我們可以預期下一個點會靠近曲線。如果我們假裝該點仍在曲線上，就可以使用相同的方法來找到下一個點，以此類推。在圖形上，我們使用多項式來近似未知曲線。兩條曲線之間的間隙代表近似的誤差，可以透過縮短步長來減少誤差。

我們剛剛推匯出尤拉方法的公式