謂詞邏輯/量詞邏輯導論

謂詞邏輯，也稱為量詞邏輯，是現代形式邏輯或符號邏輯的一部分，它系統地展示了句子之間邏輯關係的體系，這些邏輯關係純粹是由於謂詞或名詞表達式透過量詞（如“所有”和“一些”）在主體範圍內分佈的方式而產生的，而與任何特定謂詞的意義或概念內容無關。此類謂詞可以包括性質和關係；在稱為函式演算的高階形式中，它還包括函式，這些函式是具有一個或多個變數的“框架”表示式，只有當變數被特定項替換時，它們才能獲得確定的真值。謂詞邏輯要區別於命題邏輯，命題邏輯處理的是由連線詞（如“和”、“如果…那麼”和“或”）連線起來的未分析的完整命題。

傳統的三段論是最著名的謂詞邏輯示例，但它並不涵蓋所有內容。在諸如“所有 C 都是 B，並且沒有 B 是 A，所以沒有 C 是 A”之類的論證中，兩個前提的真值需要結論的真值，這是由於謂詞 B 和 A 分別相對於 C 和 B 指定的類別進行分佈的方式。例如，如果謂詞 A 只屬於 B 中的一個，那麼結論就可能為假——一些 C 可能是一個 A。

現代符號邏輯，其中包含謂詞邏輯，並不侷限於傳統的三段論形式或其符號體系，其中已設計出許多種符號體系。謂詞邏輯通常建立在某種形式的命題邏輯之上。然後，它透過參考謂詞在句子中分佈的不同方式，對它包含或處理的句子型別進行分類。例如，它區分以下兩種句子型別：“所有 F 要麼是 G 要麼是 H”和“一些 F 既是 G 又是 H”。基本句子型別的真假條件被確定，然後進行交叉分類，將可以算入邏輯中的句子分為三個相互排斥的類別——（1）那些在所有可能的謂詞符號意義指定下都為真的句子，如“所有事物要麼是 F，要麼不是 F”；（2）那些在所有此類指定下都為假的句子，如“某些事物既是 F 又不是 F”；以及（3）那些在一些指定下為真而在另一些指定下為假的句子，如“某些事物既是 F 又是 G”。這些分別是謂詞邏輯中的永真式、矛盾式和偶然式句子。某些永真式句子型別可以被選為公理或作為變換各種句子型別符號的規則的基礎；然後可以制定相當例行和機械的程式來決定給定的句子是永真式、矛盾式還是偶然式——或者給定的句子是否以及如何與其他句子在邏輯上相關。可以設計此類程式來決定任何不包含對謂詞本身進行範圍限定的謂詞（函式）的謂詞邏輯中的每個句子的邏輯屬性和關係——即任何一階或更低階的謂詞邏輯。

另一方面，包含對謂詞進行自由範圍限定的謂詞的邏輯——稱為高階邏輯——不允許透過此類例行程式對所有句子進行分類。正如 20 世紀摩拉維亞裔美國數學邏輯學家庫爾特·哥德爾所證明的那樣，這些邏輯，如果是一致的，總是包含一些公式，它們本身或它們的否定不能透過邏輯的規則推匯出（證明為永真式）。這些邏輯在精確的意義上是不完備的。然而，高階邏輯的各種限制形式已被證明能夠對所有公式進行例行決策程式。