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我們的真值表分析揭示了關於邏輯聯結詞的一些有趣的事情。特別是，它們在某些方面像普通數字上的 + 和 . 一樣。我們進入抽象世界的旅程已經帶來了回報，所以現在我們將沿著抽象之路走得更遠。

我們要做的是將命題演算定義為一種形式語言，就像一種計算機程式語言一樣。我們將使用英語，以及一兩個希臘字母，來定義和談論命題演算的形式語言。因此，英語是元語言，而命題演算是目標語言。

合式公式

我們已經介紹了邏輯公式。一些邏輯符號串是有意義的，而另一些則沒有；' p ∨ ' 是無意義的，因為它需要聯結詞後面有東西。那些有意義的被稱為合式公式，簡稱wffs。我們可以引入一些規則來區分wffs和胡言亂語。

任何句子字母都是一個wff。

到目前為止，我們一直在使用 p、q 和 r 作為句子字母。實際上，它們有無限多個。我們可以寫 p₁、p₂、p₃，等等，但我們將繼續使用 p、q 和 r。

如果 φ 是一個wff，那麼 ¬ φ 是一個wff。

如果 φ 和 ψ 是wffs，那麼 (φ ∧ ψ)、(φ ∨ ψ)、(φ → ψ) 和 (φ ↔ ψ) 是wffs。

在我們的形式化處理中，我們總是寫括號。

封閉子句：其他任何東西都不是wff。

這排除了無意義的字串。請注意，雖然這些規則是為了區分可能是有意義的和沒有意義的，但這些規則純粹是句法上的。

需要注意的另一件事是，這些規則具有逆規則，這對決定已經寫下的東西是否是一個wff很有用。我們只需應用這些逆規則，直到我們只剩下空值或卡住。因此，我們有一個生成 wffs 的有效程式，以及一個決定字串是否為 wffs 的有效程式。

現在我們為命題演算引入一些推理規則。在某些方面，這些規則是不必要的，因為我們可以將真值表作為基本，並使用真值表來證明以下規則。然而，當我們談到謂詞演算時，我們將沒有真值表來幫助我們，並且必須完全依靠推理規則。

推理規則

現在我們為命題演算引入一些推理規則。在某些方面，這些規則是不必要的，因為我們可以將真值表作為基本，並使用真值表來證明以下規則。然而，當我們談到謂詞演算時，我們將沒有真值表來幫助我們，並且必須完全依靠推理規則。

雙重否定消去：從 wff ¬ ¬ φ，我們可以推斷出 φ。
合取引入：從任何 wff φ 和任何 wff ψ，我們可以推斷出 ( φ ∧ ψ )。
合取消去：從任何 wff ( φ ∧ ψ )，我們可以推斷出 φ 和 ψ
析取引入：從任何 wff φ，我們可以推斷出 (φ ∨ ψ) 和 (ψ ∨ φ)，其中 ψ 是任何 wff。
析取消去：從形式為 ( φ ∨ ψ )、( φ → χ ) 和 ( ψ → χ ) 的 wffs，我們可以推斷出 χ。
雙條件引入：從形式為 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ ) 的 wffs，我們可以推斷出 ( φ ↔ ψ )。
雙條件消去：從 wff ( φ ↔ ψ )，我們可以推斷出 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ )。
肯定前件：從形式為 φ 和 ( φ → ψ ) 的 wffs，我們可以推斷出 ψ。
條件證明：如果可以在假設假設 φ 的情況下推匯出 ψ，我們可以推斷出 ( φ → ψ )。
歸謬法：如果可以在假設假設 φ 的情況下推匯出 ψ 和 ¬ ψ，我們可以推斷出 ¬ φ。

運算元的互定義性

可以用其他運算元來定義一些邏輯運算元。例如，公式 (φ → ψ) 的真值表等於 ¬(φ ∧ ¬ψ) 的真值表，因此我們可能想將 (φ → ψ) 僅僅視為 ¬(φ ∧ ¬ψ) 的簡寫符號。
這裡有趣的是，命題演算中的所有邏輯運算元都可以用 ¬ 和 ∧ 來表示。這一事實允許我們以非常簡單的方式表達合式公式的規則。

如果 φ 是一個wff，那麼 ¬ φ 是一個wff。
如果 φ 和 ψ 是 wffs，那麼 (φ ∧ ψ) 是一個 wff。
其他任何東西都不是合式公式。

然後我們可以用這兩個運算元來定義其他運算元。

(φ → ψ) 根據定義為 ¬(φ ∧ ¬ψ)。
(φ ↔ ψ) 根據定義為 (φ → ψ) ∧ (ψ → φ)。
(φ ∨ ψ) 根據定義為 ¬(¬φ ∧ ¬ψ)。

如果我們考慮這些定義（三個額外的規則），似乎我們並沒有透過減少原始運算元的數量而獲得多少益處。然而，當將命題演算系統作為一個整體來考慮時（例如，當我們研究系統的性質時），用極少數規則來描述系統是有用的。在這種情況下，我們不關心特定的公式，因此可以刪除定義其他運算元的額外規則。
也可以證明所有邏輯運算元都可以用 ¬ 和 ∨ 來定義。