哲學/邏輯導論/邏輯連線詞的一些性質
∧ 和 ∨ 是可交換的
- p ∧ q 給出的結果與 q ∧ p 相同；
- p ∨ q 給出的結果與 q ∨ p 相同。
∧ 和 ∨ 是可結合的
- (p ∧ q) ∧ r 給出的結果與 p ∧ (q ∧ r) 相同；
- (p ∨ q) ∨ r 給出的結果與 p ∨ (q ∨ r) 相同。
∧ 對 ∨ 是分配的
- p ∧ (q ∨ r) 給出的結果與 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 相同；
- (p ∨ q) ∧ r 給出的結果與 (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) 相同。
∨ 對 ∧ 是分配的
- p ∨ (q ∧ r) 給出的結果與 (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 相同；
- (p ∧ q) ∨ r 給出的結果與 (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) 相同。
我之所以說‘給出相同的結果’，是因為我們還沒有談到等式。
那些對抽象代數有所瞭解的人會認識到 ({T, F}, ∨, ∧) 是一個環 - 事實上它是一個具有單位元的交換環，並且只有兩個元素，它是你能得到的儘可能簡單的環，而不會完全平凡或退化。為了證明這一點，我們需要觀察到，除了上面的可交換的、可結合的和分配的性質之外，
- F 充當零：對於任何 p ∈ {T, F}，F ∨ p 與 p 相同；
- T 充當一：T ∧ p 與 p 相同；
- F 是我們環中所有元素的 ∨-逆：p ∨ F 與 p 相同。
如果您不熟悉抽象代數，只需觀察到，∨ 和 ∧ 與 T 和 F 的行為有點類似於數字的加法和乘法。注意，∨（‘或’）是對應於此類比中加法的連線詞，即使我們經常在說‘加’的時候，實際是指‘加’，比如‘3 加 4 等於 7’。
我們的連線詞 ∧ 和 ∨ 的行為就像一個環，這可以被認為是關於推理本質的一個有趣結果 - 它表明我們的命題演算具有類似於數學中其他結構的結構。