控制中的 LMI / 應用 / F16 縱向穩定性

使用 Hinf 輸出反饋的 F-16 縱向穩定性

本示例考慮了 F-16 飛機的線性化縱向動力學。非線性 6DOF 模型使用以下直線和水平飛行條件線性化

${\begin{aligned}V=502ft/s\\{\bar {q}}=300psf\\X_{cg}=0.35{\bar {c}}\\\delta _{trim}=-0.7588deg\end{aligned}}$

有關更多詳細資訊，請參見 [] 的第 3 章。

系統

線性化縱向動力學的態空間表示可以寫成如下

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}w(t)+B_{2}u(t)\\y(t)&=C_{1}x(t)+D_{11}w(t)+D_{12}u(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}w(t)+D_{22}u(t)\\u(t)=Ky(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x=[V\quad \alpha \quad \theta \quad q]^{\text{T}}$，$u=\delta$ ，$w=\delta _{cmd}$ 和 $z=[a_{n}\quad (\delta _{cmd}-\delta )]^{\text{T}}$ 分別是狀態變數、控制輸入、擾動和調節輸出向量。在這種情況下，$V$ 是速度 (ft/s)，$\alpha$ 是迎角 (rad)，$\theta$ 是俯仰角 (rad)，$q$ 是俯仰角速度 (rad/s)，$\delta$ 是升降舵偏轉量相對於修整偏轉量 (rad)，$\delta _{cmd}$ 是指令升降舵偏轉量相對於修整偏轉量 (rad)，並且 $a_{n}$ 是飛行員位置處的法向加速度 (ft/s^2)。

資料

對於所使用的線性化，上述矩陣為

${\begin{aligned}A={\begin{bmatrix}-1.9311e-2&&8.8157&&-3.217e1&&-5.7499e-1\\-2.5389e-4&&-1.0189&&0&&9.0506e-1\\0&&0&&0&&1\\2.9465e-12&&8.2225e-1&&0&&-1.0774\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

$B_{1}={\begin{bmatrix}1.737e-1\\-2.1499e-3\\0\\-1.7555e-1\end{bmatrix}}$

$B_{2}={\begin{bmatrix}1.737e-1\\-2.1499e-3\\0\\-1.7555e-1\end{bmatrix}}$

${\begin{aligned}C_{1}={\begin{bmatrix}0&&5.729578e1&&0&&0\\0&&0&&0&&5.729578e1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}C_{2}={\begin{bmatrix}0.003981&&15.88&&0&&1.481\\0&&0&&0&&0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

$D_{11}=D_{12}=0$

$D_{21}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

$D_{21}={\begin{bmatrix}0.03333\\-1\end{bmatrix}}$

LMI: 最優輸出反饋 $H_{\infty }$ 控制 LMI

以下等價。

1) 存在 ${\hat {K}}={\begin{bmatrix}A_{K}&B_{K}\\C_{K}&D_{K}\end{bmatrix}}$ 使得 $||S(K,P)||_{H_{\infty }}<\gamma$

2) 存在 $X_{1}$, $Y_{1}$, $Z$, $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$, $D_{n}$ 使得

${\begin{bmatrix}X_{1}&I\\I&Y_{1}\end{bmatrix}}>0$

${\begin{bmatrix}AY_{1}+Y_{1}A^{\text{T}}+B_{2}C_{n}+C_{n}B_{2}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\A^{\text{T}}+A_{n}+(B_{2}D_{n}C_{2})^{\text{T}}&X_{1}A+A^{\text{T}}+B_{n}C_{2}+C_{2}^{\text{T}}B_{n}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\(B_{1}+B_{2}D_{n}D_{21})^{\text{T}}&(X_{1}B_{1}+B_{n}D_{21})^{\text{T}}&-\gamma I&*^{\text{T}}\\C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n}&C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2}&D_{11}+D_{12}D_{n}D_{21}&-\gamma I\\\end{bmatrix}}<0$

結論

使用此問題公式，可以找到一個輸出控制器${\hat {K}}$，可以衰減法向加速度並跟蹤參考升降舵偏轉命令。

參考資料

Stevens, Brian L., et al. Aircraft Control and Simulation. Third ed., Wiley, 2016.