控制中的LMI/KYP引理/KYP引理（有界實引理）

KYP引理（有界實引理）

Kalman–Popov–Yakubovich (KYP) 引理是控制理論中廣泛使用的引理。它有時也被稱為有界實引理。KYP 引理可用於確定 $H_{\infty }$ 系統的範數，也適用於證明許多LMI結果。

系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ ， $u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ ，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。

矩陣 $A,B,C,D$ 是已知的。

必須解決以下最佳化問題。

{\begin{aligned}&{\underset {\gamma ,\;X}{\operatorname {minimize} }}\quad \gamma \\&\operatorname {subject\;to} &X>0\\&&{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB\\B^{T}X&-\gamma I\end{bmatrix}}+{\frac {1}{\gamma }}{\begin{bmatrix}C^{T}\\D^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C&D\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

假設 ${\hat {G}}(s)(A,B,C,D)$ 是系統。那麼以下等價。

1)\quad \left\|G\right\|_{H_{\infty }}\leq \gamma

2)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB\\B^{T}X&-\gamma I\end{bmatrix}}+{\frac {1}{\gamma }}{\begin{bmatrix}C^{T}\\D^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C&D\end{bmatrix}}<0

3)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB&C^{T}\\B^{T}X&-\gamma I&D^{T}\\C&D&-\gamma I\end{bmatrix}}<0

KYP 引理可用於找到系統 $H_{\infty }$ 範數的邊界 $\gamma$ 。從 LMI 的 (1,1) 塊中我們知道 $A$ 是 Hurwitz 矩陣。

CodeOcean 或其他線上實現 LMI 的連結（正在進行中）

文件化和驗證 LMI 的參考文獻列表。