控制/穩定性分析/連續時間/Hurwitz 可穩定性中的 LMI

本節研究控制系統的可穩定性性質。

系統

給定線性系統的狀態空間表示

${\begin{aligned}\ \rho x=Ax+Bu\\\ y=Cx+Du\\\end{aligned}}$

其中 $\rho$ 表示微分運算元（當系統為連續時間時）或一步前移運算元（離散時間系統）。$x\in \mathbb {R} ^{n},y\in \mathbb {R} ^{m},u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是狀態、輸出和輸入向量。

資料

$A,B,C,D$ 是系統矩陣。

定義

系統，或矩陣對 $(A,B)$ 是 Hurwitz 可穩定性的，如果存在一個實數矩陣 $K$ 使得 $(A+BK)$ 是 Hurwitz 穩定的。給定矩陣對 (A,B) 的 Hurwitz 可穩定性條件由 PBH 準則給出

${\begin{aligned}\ rank{\begin{bmatrix}sI-A&B\end{bmatrix}}&=n,\forall s\in \mathbb {C} ,Re(s)\geq 0\\\end{aligned}}$

(1)

PBH 準則表明，如果所有不可控模態都是 Hurwitz 穩定的，則系統是 Hurwitz 可穩定性的。

LMI 條件

系統，或矩陣對 $(A,B)$ 是 Hurwitz 可穩定性的，當且僅當存在對稱正定矩陣 $P$ 和 $W$ 使得

${\begin{aligned}AP+PA^{T}+BW+W^{T}B^{T}<0\\\end{aligned}}$

(2)

在 Hurwitz 可穩定性和 Lyapunov 穩定性理論的定義之後，PBH 準則當且僅當存在矩陣 $K$ 和矩陣 $P>0$ 滿足以下條件時為真。

${\begin{aligned}(A+BK)P+P(A+BK)^{T}<0\\\end{aligned}}$

(3)

令

${\begin{aligned}W=KP\\\end{aligned}}$

(4)

將 (4) 代入 (3) 得到 (2)。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Mosek。

• https://github.com/ShenoyVaradaraya/LMI--master/blob/main/Hurwitz_Stabilizability.m

結論

與二階條件相比，LMI 在保持數值可靠性的同時，具有計算優勢。

參考文獻

• LMI Methods in Optimal and Robust Control - 由 Matthew Peet 編寫的關於 LMI 在控制中的課程。
• LMIs in Systems and Control Theory - 由 Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。
• LMIs in Control Systems: Analysis, Design and Applications - 由段廣仁和於海華編寫，CRC 出版社，泰勒與弗朗西斯集團，2013 年