控制/穩定性分析/Hurwitz 穩定性中的 LMI

這是一組用於確定連續時間系統 Hurwitz 穩定性的 LMI 條件。

系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}

資料

矩陣 $A,B,C,D$ 是適當維度的系統矩陣。
$x\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是狀態向量、輸出向量和輸入向量。

最佳化問題

找到一個對稱正定矩陣 $X$ ，其中 $X\in \mathbb {R} ^{n}$ 。因此 $X>0$ 和 $K=ZX^{-1}$ ，其中 $Z\in \mathbb {R} ^{r}$ 。

LMI：Lyapunov 不等式

矩陣對 $(A,B)$ 是 Hurwitz 可鎮定的，當且僅當存在對稱正定矩陣 $X$ 和矩陣 $Z$ 滿足：
$AX+XA^{T}+BZ+Z^{T}B^{T}<0$

證明 : 矩陣對 $(A,B)$ 是 Hurwitz 可鎮定的，當且僅當：

$rank[sI-AB]=n$ ， $\forall s\in \lambda (A)$ 且 $Re(s)\geq 0$
這是 Hurwitz 穩定性的定義。現在，使用這個定義，如果我們找到矩陣 $X>0$ 和矩陣 $Z$ ，然後在上面的 LMI 中代入 $Z=KX$ ，我們得到：
$(A+BK)X+X(A+BK)^{T}<0$ ，這使我們回到了李雅普諾夫穩定性理論。