控制中的 LMI/工具/復矩陣的最大奇異值

控制中的 LMI/工具/復矩陣的最大奇異值

復矩陣的最大奇異值

系統

考慮 $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ 以及 $\gamma$。矩陣 $A$ 的最大奇異值小於 $\gamma$ 當且僅當 $AA^{H}<\gamma ^{2}I$，其中 $A^{H}$ 是矩陣 $A$ 的共軛轉置或厄米特轉置。

資料

矩陣 $A$ 是唯一需要的資料。

LMI：復矩陣的最大奇異值

使用舒爾補方法，可以構造以下 LMI

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)<\gamma \\{\begin{bmatrix}\gamma I&A\\A^{H}&\gamma I\end{bmatrix}}&>0\\\end{aligned}}$

以下 LMI 也是等價的

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)<\gamma \\{\begin{bmatrix}\gamma I&A^{H}\\A&\gamma I\end{bmatrix}}&>0\\\end{aligned}}$

結論

此 LMI 的結果將給出矩陣 $A$ 的最大復值

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)<\gamma \end{aligned}}$

實現

• 最大奇異值示例

% Maximimum Singular Value of Complex Matrix
% -- EXAMPLE --

%Clears all variables
clear; clc; close all;

%SDPVAR variables
gam1 = sdpvar(1);
gam2 = sdpvar(1);

%Example Matrix A
A = rand(9,6)+rand(9,6)*1i;

%Constraint Matrix for LMI optimization
M1 = [gam1*eye(9) A; A' gam1*eye(6)];

%Equivalent counter Matrix
M2 = [gam2*eye(6) A';A gam2*eye(9)]; 

%Constraints
Fc1 = (M1 >= 0);
Fc2 = (M2 >= 0);

%Objective function
obj1=gam1;
obj2=gam2;

%options
opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Optimization
optimize(Fc1,obj1,opt)
optimize(Fc2,obj2,opt)

%Displays output
fprintf('\nValue of Max singular value (using first method): ')
disp(value(gam1))

fprintf('\nValue of Max singular value (using second method): ')
disp(value(gam2))

fprintf('\nMATLAB verified output: ')
disp(norm(norm(A)))

相關 LMI

• 復矩陣的最小奇異值

外部連結

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。