控制中的 LMI/工具/矩陣正定性的概念

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正定性的符號

對稱矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 被定義為

半正定， $(A\geq 0)$，如果 $x^{T}Ax\geq 0$ 對所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$ 成立。

正定， $(A>0)$，如果 $x^{T}Ax>0$ 對所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$ 成立。

半負定， $(-A\geq 0)$。

負定， $(-A>0)$。

不定如果 $A$ 既不是半正定也不是半負定。

正定矩陣的性質

• 對於任何矩陣 $M$，$M^{T}M>0$。
• 正定矩陣是可逆的，並且逆矩陣也是正定的。
• 正定矩陣 $A>0$ 有一個平方根，$A^{1/2}>0$，使得 $A^{1/2}A^{1/2}=A$。
• 對於一個正定矩陣 $A>0$ 和可逆矩陣 $M$，$M^{T}AM>0$。
• 如果 $A>0$ 並且 $M>0$，那麼 $A+M>0$。
• 如果 $A>0$ 那麼 $\mu A>0$ 對於任何標量 $\mu >0$。

待完善，將新增更多參考資料

外部連結

• 最優和魯棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet 關於控制中LMI的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的LMI列表。
• 系統和控制理論中的LMI - Stephen Boyd 編寫的關於LMI的可下載書籍。