控制中的 LMI / 工具 / Schur 補

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Schur 補是證明許多 LMI 定理的重要工具。它經常被用作 LMI 線性化的一個方法。

Schur 補

考慮矩陣 $Q$，$M$ 和 $R$，其中 $Q$ 和 $M$ 是自伴的。那麼以下陳述是等價的

1. $Q>0$ 和 $M-RQ^{-1}R^{*}>0$ 都成立。
2. $M>0$ 和 $Q-R^{*}M^{-1}R>0$ 都成立。
3. ${\begin{bmatrix}M&R\\R^{*}&Q\end{bmatrix}}>0$ 滿足。

更簡潔地

${\begin{bmatrix}M&R\\R^{*}&Q\end{bmatrix}}>0\iff {\begin{bmatrix}M&0\\0&Q-R^{*}M^{-1}R\end{bmatrix}}>0\iff {\begin{bmatrix}M-RQ^{-1}R^{*}&0\\0&Q\end{bmatrix}}>0$

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外部連結

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 特性及其應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。