控制中的LMI/頁面/Apkarian濾波器

控制中的LMI/頁面/Apkarian濾波器

系統

如果多胞形模型中的所有子系統具有相同的矩陣$B$，則檢查二次穩定性所需的LMI約束數量就會減少。這可以透過在系統輸入端新增Apkarian濾波器來實現。

最佳化問題

Apkarian濾波器

考慮我們的TS-LIA模型。這可以線性化為

${\dot {x}}=A(z(t))x+B(z(t))u$

濾波器應使得狀態的平衡點為輸入值，並且動力學應足夠快，因此我們可以假設濾波器的動力學可以忽略不計（即，濾波器的輸入等效於四旋翼的輸入）。一種可能的濾波器如下所示，其中$A_{F}$ = −100$I_{4}$，$B_{F}$ = 100$I_{4}$ 且 $I_{4}$ ∈ $R^{4\times 4}$ 是單位矩陣。

${\dot {x_{F}}}=A_{F}x_{F}+B_{F}u_{F};y_{f}=x_{f}$.

應用濾波器時，我們要求濾波器的輸出成為TS-LIA模型的新輸入（即$u$ = $y_{F}$）。然後，擴充套件模型為

${\dot {x_{c}}}={\begin{bmatrix}A(z(t))&B(z(t))\\0&A_{F}\\\end{bmatrix}}x_{c}+{\begin{bmatrix}0\\B_{F}\end{bmatrix}}u_{F}=A_{e}(z(t))x_{e}+B_{e}u_{f};x_{e}={\begin{bmatrix}x\\x_{F}\end{bmatrix}}$

此預濾波不影響獲得TS-LIA模型的過程，因此前提變數、隸屬函式和啟用函式保持不變。

狀態反饋控制器設計

考慮擴充套件TS-LIA模型的狀態反饋控制律：${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}u_{F}]$，其中狀態反饋控制律為：$u_{F}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))K_{i}x(t)$，得到閉環系統：${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}\sum _{j=1}^{32}h_{j}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}K_{j}]x_{e}$

LMI

控制器的設計是透過解決一個涉及二次穩定性約束的LMI問題來完成的。如果我們想要D穩定化，則需要以下LMI約束集

$L\otimes P+M\otimes P(A_{ei}+B_{e}K_{i})+MT\otimes (A_{e}i+B_{e}K_{i})^{T}P<0$ ∀i = 1, . . . , 32。

結論

LMI是可行的。

參考文獻

• Control, A. (2016). 使用Takagi-Sugeno方法的四旋翼增益排程控制。