控制中的 LMI / pages / 基本矩陣理論

基本矩陣符號

考慮復矩陣 $A\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ .

A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{n\times m}

矩陣的轉置

$A$ 的轉置，記為 $A^{T}$ 或 $A'$ 為

A^{T}={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{n1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1m}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}.

矩陣的伴隨

$A$ 的伴隨或厄米共軛，記為 $A^{*}$ 為

A^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}^{*}&\dots &a_{n1}^{*}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1m}^{*}&\dots &a_{nm}^{*}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}.

其中 $a_{nm}^{*}$ 是矩陣元素 $a_{nm}$ 的複共軛。

注意，對於一個實矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ ， $A^{*}=A^{T}$ .

Hermitian 矩陣、自伴矩陣和對稱矩陣

一個方陣 $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ 被稱為 Hermitian 矩陣或自伴矩陣，如果 $A=A^{*}$ .

如果 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 是 Hermitian 矩陣，那麼它被稱為對稱矩陣。

酉矩陣

一個方陣 $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ 被稱為酉矩陣，如果 $A^{*}=A^{-1}$ 或 $A^{*}A=I$ .