控制中的LMI/pages/CT-SOFS

控制中的LMI/pages/CT-SOFS

從應用的角度來看，對整個狀態進行靜態反饋通常是不可行的：只有幾個狀態變數（或它們的線性組合，$y=Cx(t)$，稱為輸出）可以實際測量並重新注入系統。
因此，我們引入了靜態輸出反饋的概念

系統

考慮具有廣義狀態空間實現的連續時間LTI系統$(A,B,C,0)$

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\\\end{aligned}}$

資料

• $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$

• $x\in \mathbb {R} ^{n},y\in \mathbb {R} ^{p},u\in \mathbb {R} ^{m}$

最佳化問題

如果存在一個矩陣F，使得閉環系統
${\dot {x}}=(A-BKC)x$
（透過替換$u=-Ky$，這意味著應用靜態輸出反饋）
在原點漸近穩定，那麼該系統就是靜態輸出反饋可穩定（SOFS）的。

LMI：連續時間LMI - 靜態輸出反饋穩定性

當且僅當系統滿足以下任一條件時，該系統就是靜態輸出反饋可穩定的。

• 存在一個$K\in \mathbb {R} ^{m\times p}$和$P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中$P>0$，使得

${\begin{bmatrix}A^{T}P+PA-PBB^{T}P&PB+C^{T}K^{T}\\KC+B^{T}P&-1\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

• 存在一個 $K\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 和 $Q\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $Q>0$，使得

${\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ-QC^{T}CQ&BK+QC^{T}\\CQ^{T}+K^{T}B^{T}&-1\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

• 存在一個 $K\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 和 $Q\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $Q>0$，使得

${\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ-BB^{T}&B+QC^{T}K^{T}\\B^{T}+KCQ^{T}&-1\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

• 存在一個$K\in \mathbb {R} ^{m\times p}$和$P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中$P>0$，使得

${\begin{bmatrix}A^{T}P+PA-C^{T}C&PBK+C^{T}\\K^{T}B^{T}P&-1\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

結論

在使用 YALMIP 和 MOSEK（或）SeDuMi 對上述 LMI 進行實現和最佳化時，我們將獲得 2 個輸出矩陣，其中一個是對稱矩陣 $P$（或 $Q$）和 $K$

實現

一個指向 Github 儲存庫中此問題簡單實現的 Matlab 程式碼的連結

https://github.com/yashgvd/LMI_wikibooks

相關 LMI

離散時間靜態輸出反饋穩定性
靜態反饋穩定性

外部連結

• [1] - 控制系統分析、設計和應用中的LMI
• 最優和魯棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet關於控制中LMI的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - Ryan Caverly和James Forbes的LMI清單。
• D. d. S. Madeira和J. Adamy，“靜態輸出反饋：基於被動性指標的穩定性LMI條件”，2016年IEEE控制應用會議（CCA），布宜諾斯艾利斯，2016年，第960-965頁。