控制中的 LMI / 頁面 / 連續時間二次穩定性

控制中的 LMI / 頁面 / 連續時間二次穩定性

為了研究 LTI 系統的穩定性，我們首先要問系統的所有軌跡是否都收斂於零， $t\rightarrow \infty$。 一個充分條件是存在一個二次函式 $V(\xi )=\xi ^{T}P\xi$， $P>0$， 沿著系統的每一個非零軌跡遞減。 如果存在這樣的 P，我們就說系統是二次穩定的，我們稱 $V$ 為一個二次李雅普諾夫函式。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A(\delta (t))x(t)\\\end{aligned}}$

資料

系統係數矩陣採用以下形式

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t)\\\end{aligned}}$

其中 $A_{0}\in \mathbb {R}$ 是一個已知矩陣，表示名義系統矩陣，而 ${\begin{aligned}\Delta A(\delta (t))x(t)=\delta _{1}(t))A_{1}+\delta _{2}(t))A_{2}+...+\delta _{k}(t))A_{k}\end{aligned}}$ 是系統矩陣擾動，其中

$A_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n},i=1,2,..,k,$ 是已知矩陣，表示擾動矩陣。

$\delta _{i}(t),i=1,2,...,k,$ 表示系統中的不確定引數。

$\delta (t)=[\delta _{1}(t)\delta _{2}(t)...\delta _{k}(t)]^{T}$ 是不確定引數向量，通常假設它在一個特定的緊緻凸集 : : $\Delta$ 內，即

$\delta (t)=[\delta _{1}(t)\delta _{2}(t)...\delta ]^{T}\in \Delta$

LMI： 連續時間二次穩定性

當且僅當存在 $P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $P>0,$，使得

${\begin{aligned}(A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t))^{T}+P(A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t))<0\delta (t)\in \Delta \end{aligned}}$

對於特定的擾動集合，可以做出以下陳述。

情況 1：規則多面體

考慮擾動引數集合由規則多面體定義的情況，如

${\begin{aligned}\Delta ={\delta (t)=[\delta _{1}(t)\delta _{2}(t)...\delta _{k}(t)]\in \mathbb {R} ^{k}\mid \delta _{i}(t),{\underline {\delta _{i}}}(t),{\overline {\delta _{i}}}(t),{\underline {\delta _{i}}}\leq \delta _{i}(t)\leq {\overline {\delta _{i})}}}\end{aligned}}$

當且僅當存在 $P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $P>0,$，使得

${\begin{aligned}(A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t))^{T}+P(A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t))<0\delta _{i}(t)\in {{\underline {\delta _{i}}},{\overline {\delta _{i}}}},i=1,2,...k.\end{aligned}}$

情況 2：多面體

考慮擾動引數集由多面體定義的情況，如

${\begin{aligned}\Delta ={\delta (t)=[\delta _{1}(t)\delta _{2}(t)...\delta _{k}(t)]\in \mathbb {R} ^{k}\mid \delta _{i}(t)\in \mathbb {R} _{\geq 0}},\sum _{i=1}^{k}\delta _{i}(t)=1\end{aligned}}$

當且僅當存在 $P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $P>0,$，使得

${\begin{aligned}(A_{0}+A_{i})^{T}P+P(A_{0}+A_{i})<0,i=1,2...,k.\end{aligned}}$

結論

如果可行，則系統對任何$x\in \mathbb {R} ^{n}$

實現

https://github.com/Ricky-10/coding107/blob/master/PolytopicUncertainities

外部連結

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 撰寫的關於控制中的 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 撰寫的 LMI 列表。