控制中的 LMI / 頁面 / 切換系統的 D 穩定性

切換系統的 D 穩定性控制器

這個 LMI 允許您指定所需的效能指標，如上升時間、穩定時間和過沖百分比。請注意，在穩定系統之間任意切換會導致不穩定，而可以在各個不穩定的系統之間進行切換以實現穩定性。

系統

假設我們得到了一個切換系統，使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\\y(t)&=C_{i}x(t)+D_{i}u(t)\end{aligned}}$

其中 $A_{i}\in \mathbb {R} ^{mxm}$，$B_{i}\in \mathbb {R} ^{mxn}$，$C_{i}\in \mathbb {R} ^{pxm}$ 和 $D_{i}\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$。

$i\in 1,...,k$ 操作模式

資料

為了正確定義複平面上極點可接受區域，我們需要以下資料

• 矩陣 $A_{i}$，$B_{i}$
• 上升時間 ($t_{r}$)
• 穩定時間 ($t_{s}$)
• 過沖百分比 ($M_{p}$)

有了這些資訊，我們就可以開始制定最佳化問題。

最佳化問題

使用上面給出的資料，我們現在可以定義我們的最佳化問題。我們首先必須使用以下不等式約束定義複平面上極點可以位於的接受區域

上升時間: $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

穩定時間: $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超調百分比: $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假設 $z$ 是復極點位置，則

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

這樣，我們就可以將不等式約束脩改為

上升時間: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

穩定時間: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超調百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

這不僅讓我們能夠映射覆極點位置和不等式約束之間的關係，而且還使我們能夠輕鬆地為這個問題制定 LMI。

LMI：二次 D 穩定性 LMI

假設存在 $P>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}<0\\A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,and\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&c(A_{i}P+B_{i}Z-(A_{i}P+B_{i}Z)^{T})\\c((A_{i}P+B_{i}Z)^{T}-(A_{i}P+B_{i}Z))&&A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

對於 $i=1,...,k$

結論

得到的控制器可以透過以下公式恢復：

$K=ZP^{-1}$.

實現

此 LMI 的實現需要 Yalmip 和 Sedumi /MOSEK[1]

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於 LMI 控制的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。