控制中的 LMI/pages/DARE

系統

考慮一個離散時間 LTI 系統

{\begin{aligned}x_{k+1}=A_{d}x_{k}+B_{d}u_{k}\end{aligned}}

{\begin{aligned}y_{k}=C_{d}x_{k}\end{aligned}}

考慮 A_d ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^nxn ; B_d ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^nxm

矩陣 A_d , B_d , C_d , Q, R 給定

Q 和 R 必須是厄米特矩陣。

如果方陣等於其複共軛轉置，則該矩陣為厄米特矩陣。

我們的目標是找到

P - 離散時間代數 Riccati 方程的唯一解，以矩陣形式返回。

K - 狀態反饋增益，以矩陣形式返回。

用於評估狀態反饋增益的演算法由以下公式給出

{\begin{aligned}K=(R+B_{d}^{T}PB_{d})^{-1}B_{d}^{T}PA_{d}\end{aligned}}

L - 閉環特徵值，以矩陣形式返回。

代數 Riccati 方程是一種非線性方程，它出現在連續時間或離散時間的無限時間範圍最優控制問題中。

離散時間代數 Riccati 不等式由以下公式給出

{\begin{aligned}A_{d}^{T}PA_{d}-A_{d}^{T}PB_{d}(R+B_{d}^{T}PB_{d})^{-1}B_{d}^{T}PA_{d}+Q-P\geq 0\end{aligned}}

P , Q ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {S} \end{aligned}}$ ⁿ 且 R ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {S} \end{aligned}}$ ^m，其中 P > 0, Q ≥ 0, R > 0

P 是一個未知的 n×n 對稱矩陣，A, B, Q, R 是已知的實係數矩陣。

上述方程可以使用 Schur 補引理改寫為：

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P+Q&A_{d}^{T}PB_{d}\\B_{d}^{T}PA_{d}&R+B_{d}^{T}PB_{d}\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}\geq 0\end{aligned}}

代數Riccati不等式在LQR/LQG控制、H2和H∞控制以及卡爾曼濾波中起著關鍵作用。我們試圖找到唯一的穩定解（如果存在）。如果系統的控制器使閉環系統穩定，則該解是穩定的。

等效地，這個離散時間代數Riccati不等式在以下充分必要條件下成立：

{\begin{bmatrix}Q&0&A_{d}^{T}P&P\\0&R&B_{d}^{T}P&0\\PA_{d}&PB_{d}&P&0\\P&0&0&P\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}\geq 0\end{aligned}}

( X 在輸出中對應於 P 在LMI中 )

Github 倉庫中一個簡單的此問題實施的 Matlab 程式碼連結

文件化和驗證 LMI 的參考文獻列表。