控制中的LMI/pages/DT-SOFS

靜態輸出反饋 (SOF) 問題已被許多人研究和分析，關於該主題的文獻非常多。在實踐中，並非總能完全訪問狀態向量，只有透過測量的輸出才能獲得部分資訊。這解釋了為什麼這個問題挑戰了控制理論中的許多研究人員。
以下是如何對離散時間線性系統的 SOF 控制設計進行系統性方法。

系統

考慮一個離散時間 LTI 系統，其狀態空間實現為 $(Ad,Bd,Cd,0)$ ,

{\begin{aligned}x_{k+1}=A_{d}x_{k}+B_{d}u_{k}\\y_{k}=C_{d}x_{k}\end{aligned}}

$x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ 是狀態， $y_{k}\in \mathbb {R} ^{p}$ 是測量的輸出， $u_{k}\in \mathbb {R} ^{m}$ 是控制輸入。

$A_{d}\in \mathbb {R} ^{n\times n},B_{d}\in \mathbb {R} ^{n\times m},C_{d}\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ 是適當維度的常數矩陣。

無法測量整個狀態，只能透過 $y_{k}$ 獲得部分資訊，該資訊可用於控制目的。

我們必須找到一個關於以下內容的靜態輸出反饋增益：

u_{k}=-K_{d}y_{k},

其中 $K_{d}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 是輸出反饋增益，使得最終的閉環系統漸近穩定。

考慮的離散時間系統在以下任何等效的必要或充分條件下都是靜態輸出反饋可穩定化的。

存在一個 $K_{d}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 和 $P\in \mathbb {S} ^{n}$ ，其中 $P>0$ ，使得

{\begin{bmatrix}-P&(A_{d}+B_{d}K_{d}C_{d})P\\((A_{d}+B_{d}K_{d}C_{d})P)'&-P\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}.

存在一個 $K_{d}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 和 $P\in \mathbb {S} ^{n}$ ，其中 $P>0$ ，使得

{\begin{bmatrix}-A_{d}PPA_{d}^{T}&A_{d}P+B_{d}K_{d}C_{d}&A_{d}P\\(A_{d}P+B_{d}K_{d}C_{d})'&-1&0\\PA_{d}^{T}&0&-P\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}.

如果可行，我們就可以得到一個輸出反饋增益矩陣 $K_{d}$ ，使得閉環系統漸進穩定。
在實現最佳化問題時，假設滿足以下條件

一個在 Github 倉庫中對這個問題進行簡單實現的 Matlab 程式碼連結

[1] - 控制系統分析、設計和應用中的 LMI
控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 開設的關於控制中 LMI 的課程。
LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
Garcia, G., Pradin, B., & Zeng, F. (2001). 靜態輸出反饋穩定離散時間線性系統。IEEE 自動控制彙刊, 46(12), 1954–1958。doi:10.1109/9.975499