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離散時間H2最優動態輸出反饋控制

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。一類既是線性又是時不變的離散時間系統，稱為離散時間LTI系統。

為離散時間系統設計動態輸出反饋控制器，以最小化具有外生輸入 $w_{k}$ 和效能輸出 $z_{k}$ 的閉環系統的H2範數。

系統

具有狀態空間實現 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$ 的離散時間LTI系統
${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k}+B_{d2}u_{k}\\z_{k}&=C_{d1}x_{k}+D_{d11}w_{k}+D_{d12}u_{k}\\y_{k}&=C_{d2}x_{k}+D_{d21}w_{k}+D_{d22}u_{k}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $(A_{d},B_{d1},B_{d2},C_{d1},C_{d1},D_{d11},D_{d12},D_{d21},D_{d22}),X_{1},Y_{1},Z,,X_{2},Y_{2}$

控制器 $(A_{dc},B_{dc},C_{dc},D_{dc})$

最佳化問題

以下可行性問題應被最佳化

$\mu$ 在遵守LMI約束的情況下最小化。

LMI

離散時間H2最優全狀態反饋控制

LMI公式

H2範數 < $\mu$

控制器由以下公式恢復：

${\begin{aligned}&A_{dc}=A_{dk}-B_{dc}(1-D_{d22}D_{dc})^{-1}D_{d22}C_{dc}\\&B_{dc}=B_{dk}(1-D_{d22}D_{dc})\\&C_{dc}=(1-D_{dc}D_{d22})C_{dk}\\&D_{dc}=1+D_{dk}D_{d22})^{-1}D_{dk}\\\end{aligned}}$

其中，${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{dk}&B_{dk}\\C_{dk}&D_{dk}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}X_{2}&X_{1}B_{d2}\\0&1\end{bmatrix}}^{-1}({\begin{bmatrix}A_{dn}&B_{dn}\\C_{dn}&D_{dn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}X_{1}A_{d}Y_{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}){\begin{bmatrix}Y_{2}^{T}&0\\C_{d2}Y_{1}&1\end{bmatrix}}^{-1}\end{aligned}}$
矩陣$X_{2}$ 和 $Y_{2}$ 滿足 $X_{2}Y_{2}^{T}=1-X_{1}Y_{1}$

給定 $X_{1}$ 和 $Y_{1}$，矩陣 $X_{2}$ 和 $Y_{2}$ 可以使用矩陣分解來找到，例如 LU 分解或 Cholesky 分解。

如果 $D_{d11}=0$，$D_{d12}$ ≠ 0，並且 $D_{d21}$ ≠ 0，那麼通常選擇 $D_{dn}=0$ 為了滿足等式約束

結論

離散時間 H2 最優動態輸出反饋控制器是系統 $(A_{dc},B_{dc},C_{dc},D_{dc})$

實現

CodeOcean 或其他 LMI 線上實現的連結
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間 H2 最優動態輸出反饋控制

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考列表。

• 線性矩陣不等式（LMI）在最優與魯棒控制中的應用 - 由 Matthew Peet 編寫的關於控制理論中LMI的課程。
• 線性矩陣不等式（LMI）的性質及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 線性矩陣不等式（LMI）在系統與控制理論中的應用 - 由 Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。