控制中的 LMI / 頁面 / 具有前饋的離散時間 KYP 引理

概念

引理假設狀態空間表示 (A_d, B_d, C_d, D_d) 是最小的。那麼傳遞函式 C_d(SI − A_d)^-1B_d + D_d 的正實性 (PR) 等同於本頁給出的 LMI 集的可解性。現在考慮以下標量示例，其中 (A_d, B_d, C_d, D_d)=(−α, 0, 0, 1)，其中 α > 0。傳遞函式為 H(s) = 0，它是 PR

系統

考慮一個離散時間 LTI 系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {l}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {l}}_{2e}$，具有最小的狀態空間實現 $({\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d},{\mathcal {D}}_{d})$，其中 ${\mathcal {A}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$.

$x(k+1)={\mathcal {A}}_{d}x(k)+{\mathcal {B}}_{d}u(k)$

$y(k)={\mathcal {C}}_{d}x(k)+{\mathcal {D}}_{d}u(k),k=0,1...$

資料

矩陣 ${\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d}$ 和 ${\mathcal {D}}_{d}$

LMI：帶前饋的離散時間KYP引理

系統 ${\mathcal {G}}$ 在以下任一等效必要和充分條件下都是正實（PR）的。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $P>0$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}\leq 0.$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}QA_{d}^{T}-Q&A_{d}QC_{d}^{T}-B_{d}\\(A_{d}QC_{d}^{T}-B_{d})^{T}&C_{d}PC_{d}^{T}-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}\leq 0.$

3. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}P&PA_{d}&PB_{d}\\(PA_{d})^{T}&P&C_{d}^{T}\\(PB_{d})^{T}&C_{d}&D_{d}^{T}+D_{d}\end{bmatrix}}\geq 0.$

4. 存在一個 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}Q&A_{d}Q&B_{d}\\(A_{d}Q)^{T}&Q&QC_{d}^{T}\\(B_{d})^{T}&(QC_{d}^{T})^{T}&D_{d}^{T}+D_{d}\end{bmatrix}}\geq 0.$

這是針對 QSR 耗散系統的 *KYP* 引理的特例，其中 **Q = 0，Q = 0.5** 且 **R = 0**。

系統 ${\mathcal {G}}$ 在以下任一充分必要條件下為嚴格正實 (SPR)。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $P>0$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}<0.$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}QA_{d}^{T}-Q&A_{d}QC_{d}^{T}-B_{d}\\(A_{d}QC_{d}^{T}-B_{d})^{T}&C_{d}PC_{d}^{T}-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}<0.$

3. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}P&PA_{d}&PB_{d}\\(PA_{d})^{T}&P&C_{d}^{T}\\(PB_{d})^{T}&C_{d}&D_{d}^{T}+D_{d}\end{bmatrix}}>0.$

4. 存在一個 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}Q&A_{d}Q&B_{d}\\(A_{d}Q)^{T}&Q&QC_{d}^{T}\\(B_{d})^{T}&(QC_{d}^{T})^{T}&D_{d}^{T}+D_{d}\end{bmatrix}}>0.$

這是一個具有 **Q = ε1, Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 耗散系統的 KYP 引理的特例。其中 ε $\in {\mathcal {R}}_{>0}.$

結論

如果存在正定 $P$ 用於所選的 **Q,S** 和 **R** 矩陣，則系統 ${\mathcal {G}}$ 是 **正實** 的。

實現

使用 MATLAB 實現此 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

相關 LMI

KYP 引理
狀態空間穩定性
沒有饋通的 KYP 引理

參考文獻

1. J. C. Willems，“耗散動力系統 - 第一部分：一般理論”，《理性力學與分析檔案》，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 頁，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非線性耗散系統的穩定性”，《IEEE 自動控制學報》，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 頁，1976 年。
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 著，《系統、穩定性和控制理論中的 LMI 特性和應用》
4. Brogliato B.、Maschke B.、Lozano R.、Egeland O.（2007）Kalman-Yakubovich-Popov 引理。載：耗散系統分析與控制。通訊與控制工程。施普林格，倫敦