控制中的 LMI / pages / 無饋通離散時間 KYP 引理

概念

該引理假設狀態空間表示(A, B, C, D)是最小的。然後，傳遞函式C(SI − A)^-1B + D的正實性 (PR) 等效於本頁給出的 LMI 集的可解性。現在考慮以下標量示例，其中(A, B, C, D)=(−α, 0, 0, 1)，其中α > 0。傳遞函式為H(s) = 0，它是 PR

系統

考慮一個連續時間 LTI 系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，具有最小的狀態空間實現(A, B, C, 0)，其中${\mathcal {A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},$ 和 ${\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{m\times n},$.

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)\\\end{aligned}}$

資料

矩陣 矩陣 $A,B$ 和 $C$

LMI : 無饋通 KYP 引理

系統 ${\mathcal {G}}$ 在以下等效的必要和充分條件中的任何一個條件下都是正實的 (PR)。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $p>0$ 使得

${\begin{aligned}PA+A^{T}P\geq 0\\PB=C^{T}\end{aligned}}$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{aligned}AQ+QA^{T}\geq 0\\B=QC^{T}\end{aligned}}$

這是針對具有 **Q = 0, Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 耗散系統的 KYP 引理的一個特例。

系統 ${\mathcal {G}}$ 在以下任何一個等效的必要和充分條件下都是嚴格正實 (SPR) 的。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $p>0$ 使得

${\begin{aligned}PA+A^{T}P<0\\PB=C^{T}\end{aligned}}$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{aligned}AQ+QA^{T}<0\\B=QC^{T}\end{aligned}}$

這是針對具有 **Q = ε1, Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 耗散系統的 KYP 引理的一個特例。其中 ε $\in {\mathcal {R}}_{>0}.$

結論

如果對於選擇的 **Q, S** 和 **R** 矩陣存在一個正定的 $P$，那麼系統 ${\mathcal {G}}$ 是 **正實** 的。

實現

使用 MATLAB 實現此 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

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KYP 引理
狀態空間穩定性

參考文獻

1. J. C. Willems, “Dissipative dynamical systems - part I: General theory,” Archive Rational Mechanics and Analysis, vol. 45, no. 5, pp. 321–351, 1972.
2. D. J. Hill and P. J. Moylan, “The stability of nonlinear dissipative systems,” IEEE Transac- tions on Automatic Control, vol. 21, no. 5, pp. 708–711, 1976.
3. LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory, by Ryan James Caverly1 and James Richard Forbes2
4. Brogliato B., Maschke B., Lozano R., Egeland O. (2007) Kalman-Yakubovich-Popov Lemma. In: Dissipative Systems Analysis and Control. Communications and Control Engineering. Springer, London