控制中的LMI/頁面/離散時間最小增益引理

概念

系統的輸出y(t)透過感測器測量F反饋到與參考值r(t)的比較。然後，控制器C使用參考值和輸出之間的誤差e（差值）來改變被控系統P的輸入u。如圖所示。這種型別的控制器是閉環控制器或反饋控制器。

這稱為單輸入單輸出 (SISO) 控制系統；MIMO（即多輸入多輸出）系統，具有多個輸入/輸出，很常見。在這種情況下，變數透過向量而不是簡單的標量值來表示。對於某些分佈引數系統，向量可能是無限維的（通常是函式）。

如果我們假設控制器C、被控物件P和感測器F是線性且時不變的（即它們的傳遞函式C(s)、P(s)和F(s)不依賴於時間），則可以使用拉普拉斯變換對上述系統進行分析。這給出了以下關係

Y(s)=P(s)U(s)

U(s)=C(s)E(s)

E(s)=R(s)-F(s)Y(s).

以R(s)的形式求解Y(s) 得出

Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)F(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).

表示式 $H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}$ 被稱為系統的閉環傳遞函式。分子是從r到y的前向（開環）增益，分母是1加上繞反饋迴路的增益，即所謂的迴路增益。如果 $|P(s)C(s)|\gg 1$ ，即它在每個s值上都有一個大的範數，並且如果 $|F(s)|\approx 1$ ，則Y(s)近似等於R(s)，輸出密切跟蹤參考輸入。本頁提供了LMI來降低增益，以便輸出密切跟蹤參考輸入。

系統

考慮一個離散時間線性時不變系統， ${\mathcal {G}}:{\mathcal {l}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {l}}_{2e}$ ，其最小狀態空間實現為 $({\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d},{\mathcal {D}}_{d})$ ，其中 ${\mathcal {A}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 以及 ${\mathcal {D}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$ .

x(k+1)={\mathcal {A}}_{d}x(k)+{\mathcal {B}}_{d}u(k)

y(k)={\mathcal {C}}_{d}x(k)+{\mathcal {D}}_{d}u(k),k=0,1...

資料

矩陣 ${\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d}$ 以及 ${\mathcal {D}}_{d}$

LMI：離散時間最小增益引理

系統 ${\mathcal {G}}$ 在以下任何等效充分條件下具有最小增益 γ。

1. 存在

P\in {\mathcal {S}}^{n},

和 γ

\in {\mathcal {R}}_{\geq 0}

，其中

P\geq 0

，使得

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P-C_{D}^{T}C_{D}&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}+\gamma ^{2}I-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}\leq 0.

2. 存在

P\in {\mathcal {S}}^{n},

和

\gamma \in {\mathcal {R}}_{\geq 0}

，其中

P\geq 0

，使得

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P-C_{D}^{T}C_{D}&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}&0\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-(D_{d}^{T}+D_{d})&\gamma I\\0&\gamma I&I\end{bmatrix}}\leq 0.

$proof$ : 將舒爾補引理應用於公式 1 中的 γ² 項，得到公式 2。

結論

如果系統 ${\mathcal {G}}$ 存在正定矩陣 $P$ ，則系統的最小增益 γ 可以從上述定義的 LMI 中獲得。

實現

使用 MATLAB 實現此 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

參考文獻

1. J. C. Willems, “耗散動力系統 - 第 I 部分：一般理論”，《理性力學與分析檔案》，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 頁，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非線性耗散系統的穩定性”，《IEEE 自動控制交易》，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 頁，1976 年。
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 編著的《LMI 在系統、穩定性和控制理論中的性質和應用》
4. Brogliato B.、Maschke B.、Lozano R.、Egeland O. (2007) Kalman-Yakubovich-Popov 引理。在：耗散系統分析與控制。通訊與控制工程。Springer，倫敦

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