控制中的 LMI/頁面/離散時間修改最小增益引理

概念

系統的輸出 y(t) 透過感測器測量 F 反饋到與參考值 r(t) 的比較。然後，控制器 C 利用參考值和輸出之間的誤差 e（差值）來改變被控系統 P 的輸入 u。如圖所示。這種控制器稱為閉環控制器或反饋控制器。

這被稱為單輸入單輸出 (SISO) 控制系統；MIMO（即多輸入多輸出）系統，具有多個輸入/輸出，很常見。在這種情況下，變數透過向量而不是簡單的標量值表示。對於某些分散式引數系統，向量可能是無窮維的（通常是函式）。

如果我們假設控制器 C、被控物件 P 和感測器 F 是線性和時不變的（即它們的傳遞函式 C(s)、P(s) 和 F(s) 不依賴於時間），那麼可以使用拉普拉斯變換對上述系統進行分析。這給出以下關係

Y(s)=P(s)U(s)

U(s)=C(s)E(s)

E(s)=R(s)-F(s)Y(s).

求解 Y(s) 關於 R(s) 的表示式，得到

Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)F(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).

表示式 $H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}$ 被稱為系統的閉環傳遞函式。分子是從 r 到 y 的前向（開環）增益，分母是 1 加上繞反饋迴路的增益，即所謂的迴路增益。如果 $|P(s)C(s)|\gg 1$ ，即它在每個 s 值下都有一個很大的範數，並且如果 $|F(s)|\approx 1$ ，那麼 Y(s) 大致等於 R(s)，並且輸出緊密跟蹤參考輸入。此頁面提供了一個 LMI 來降低增益，以便輸出緊密跟蹤參考輸入。

系統

考慮一個離散時間線性時不變系統， ${\mathcal {G}}:{\mathcal {l}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {l}}_{2e}$ ，其最小狀態空間實現為 $({\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d},{\mathcal {D}}_{d})$ ，其中 ${\mathcal {A}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 以及 ${\mathcal {D}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$ .

x(k+1)={\mathcal {A}}_{d}x(k)+{\mathcal {B}}_{d}u(k)

y(k)={\mathcal {C}}_{d}x(k)+{\mathcal {D}}_{d}u(k),k=0,1...

資料

矩陣 ${\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d}$ 和 ${\mathcal {D}}_{d}$

LMI：離散時間修正最小增益引理

系統 ${\mathcal {G}}$ 在以下任何等效的充分條件下，都具有最小增益 γ。

1. 存在

P\in {\mathcal {S}}^{n},

以及 γ

\in {\mathcal {R}}_{\geq 0}

，其中

P\geq 0

使得

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}+\gamma ^{2}I-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}

$Proof$ . 項 $-C_{d}^{T}C_{d}$ 在離散時間最小增益引理中使矩陣不等式變得更負定。因此，

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P-C_{D}^{T}C_{D}&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}+\gamma ^{2}I-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}\leq {\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}+\gamma ^{2}I-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}

2. 存在

P\in {\mathcal {S}}^{n},

和

\gamma \in {\mathcal {R}}_{\geq 0}

其中

P\geq 0

使得

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}&0\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-(D_{d}^{T}+D_{d})&\gamma I\\0&\gamma I&I\end{bmatrix}}\leq 0.

$proof$ : 將舒爾補引理應用於方程1中的γ²項，得到方程2。

結論

如果系統 ${\mathcal {G}}$ 存在一個正定的 $P$ ，則系統的最小增益γ可以從上述定義的LMI中獲得。

實現

使用MATLAB實現此LMI的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

參考文獻

1. J. C. Willems，“耗散動力系統——第一部分：一般理論”，理性力學和分析檔案，第 45 卷，第 5 期，第 321–351 頁，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非線性耗散系統的穩定性”，IEEE 自動控制學報，第 21 卷，第 5 期，第 708–711 頁，1976 年。
3. 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質及應用，作者：Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2
4. Brogliato B.、Maschke B.、Lozano R.、Egeland O. (2007) Kalman-Yakubovich-Popov 引理。在：耗散系統分析與控制。通訊與控制工程。施普林格，倫敦

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LMI：離散時間修正最小增益引理

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