控制中的 LMI/頁面/橢圓不等式

介紹

單純形演算法是第一個為線性規劃提出的演算法，儘管該演算法在實踐中相當快，但沒有已知的變體是多項式時間。橢球演算法是第一個發現的用於線性規劃的多項式時間演算法。橢球演算法由俄羅斯數學家 Shor 於 1977 年為一般凸最佳化問題提出，並由 Khachyan 於 1979 年應用於線性規劃。

橢圓不等式約束是一種李雅普諾夫函式。它們在過程識別、引數估計和統計學中很重要。應用包括結晶過程、聚合物薄膜擠出和造紙機。

資料

不等式的公式取決於橢球的座標 $(x_{i})$ 和橢球的中心 $(x_{c})$.

橢圓不等式

橢球由以下公式描述

${\begin{aligned}\ (x-x_{c})^{T}P^{-1}(x-x_{c})<1,\\\ where,P=P^{T}>0\\\end{aligned}}$

它可以使用 Schur 補餘引理用 $Q(x)=1,R(x)=P,andS(x)=(x-x_{c})^{T}:$ 表達為 LMI。
${\begin{bmatrix}1&&(x-x_{c})^{T}\\(x-x_{c})&&P\end{bmatrix}}$ ${\begin{aligned}>=0\end{aligned}}$

結論

使用這個不等式，隨著演算法推進到下一步；如果 P 的值是正的；體積會不斷縮小，直到 LMI 滿足。

實現

• https://github.com/Margav06/LMI-for-Ellipsoidal-Inequality

外部連結

一個記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• https://web.mit.edu/braatzgroup/33_A_tutorial_on_linear_and_bilinear_matrix_inequalities.pdf

• http://www-math.mit.edu/~goemans/18433S09/ellipsoid.pdf

返回主頁