圓錐扇區定理是一個強大的輸入-輸出穩定性分析工具，在系統特徵的普遍性和簡單性之間取得了良好的平衡，這有利於實際的穩定性分析和魯棒控制器綜合。
考慮一個平方、連續時間線性時不變 (LTI) 系統， G : L 2 e → L 2 e {\displaystyle {\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}} E , A ∈ R n × n , B ∈ R n × m , C ∈ R p × n , {\displaystyle {\mathcal {E,A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},} D ∈ R p × m {\displaystyle {\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}}
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) , y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}} 矩陣 矩陣 A , B , C {\displaystyle A,B,C} D {\displaystyle D}
系統 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} G ∈ {\displaystyle {\mathcal {G}}\in } r (c))，其中 r ∈ R > 0 {\displaystyle r\in {\mathcal {R}}_{>0}} ∈ R {\displaystyle \in {\mathcal {R}}}
1. 存在 **P** ∈ S n {\displaystyle \in {\mathcal {S}}^{n}} ≥ 0 {\displaystyle \geq 0} [ P A + A T P − C T C P B − C T ( D − C I ) ( P B − C T ( D − C I ) ) T r 2 I − ( D − c I ) T ( D − c I ) ] ≤ 0. {\displaystyle {\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}C&PB-C^{T}(D-CI)\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&r^{2}I-(D-cI)^{T}(D-cI)\end{bmatrix}}\leq 0.} 2. 存在 **P** ∈ S n {\displaystyle \in {\mathcal {S}}^{n}} ≥ 0 {\displaystyle \geq 0} [ P A + A T P − C T C P B − C T ( D − C I ) 0 ( P B − C T ( D − C I ) ) T − ( D − c I ) T ( D − c I ) r I 0 ( r I ) T − I ] ≤ 0. {\displaystyle {\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}C&PB-C^{T}(D-CI)&0\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&-(D-cI)^{T}(D-cI)&rI\\0&(rI)^{T}&-I\end{bmatrix}}\leq 0.} 證明 ，對 (1) 中的 r 2 I {\displaystyle r^{2}I}
如果存在正定 P {\displaystyle P} G {\displaystyle {\mathcal {G}}}
使用 MATLAB 實現該 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI
KYP 引理 狀態空間穩定性
1. J. C. Willems， “耗散動力系統 - 第一部分：一般理論”，《理性力學與分析檔案》，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 頁，1972 年。
