控制中的 LMI/pages/矩陣和 LMI 基礎

正性符號

對稱矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 被定義為

半正定，$(A\geq 0)$，如果 $x^{T}Ax\geq 0$ 對於所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$ 成立。

正定，$(A>0)$，如果 $x^{T}Ax>0$ 對於所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$ 成立。

半負定，$(-A\geq 0)$。

負定，$(-A>0)$。

不定，如果 $A$ 既不是半正定也不是半負定。

正定矩陣的性質

• 對於任何矩陣 $M$，$M^{T}M>0$。
• 正定矩陣是可逆的，其逆矩陣也是正定的。
• 正定矩陣 $A>0$ 有一個平方根，$A^{1/2}>0$，使得 $A^{1/2}A^{1/2}=A$。
• 對於正定矩陣 $A>0$ 和可逆矩陣 $M$，$M^{T}AM>0$。
• 如果 $A>0$ 且 $M>0$，則 $A+M>0$。
• 如果 $A>0$，則對於任何標量 $\mu >0$，都有 $\mu A>0$。

外部連結

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的 LMI 控制課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。