控制中的 LMI/頁面/廣義 KYP 引理 錐形扇區

概念

錐形扇區定理是一個強大的輸入輸出穩定性分析工具，它在系統特徵的普遍性和簡單性之間取得了很好的平衡，有利於實際穩定性分析和魯棒控制器合成。

系統

考慮一個平方、連續時間線性時不變 (LTI) 系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，具有最小的狀態空間實現 (A, B, C, D)，其中 ${\mathcal {E,A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

同樣地，考慮$\pi _{c}(a,b)\in {\mathcal {S}}^{m}$，它定義為

$\pi _{c}(a,b)={\begin{bmatrix}-{\tfrac {1}{b}}I&{\tfrac {1}{2}}(1+{\tfrac {a}{b}})I\\({\tfrac {1}{2}}(1+{\tfrac {a}{b}})I)^{T}&-aI\end{bmatrix}}$,

其中 $a\in {\mathcal {R}},b\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $a<b$.

資料

矩陣 $A,B,C$ 和 $D$。a 和 b 的值

LMI : 廣義 KYP (GKYP) 引理用於錐形扇區

以下廣義 KYP 引理給出了${\mathcal {G}}$ 在有限頻率頻寬內位於錐體 $[a,b]$ 內部的條件。

1. (低頻範圍) 系統 ${\mathcal {G}}$ 在所有 $\omega \in {\omega \in {\mathcal {R}}||\omega |<\omega _{1},det(j\omega I-A)\neq 0}$ 內位於錐體 $[a,b]$ 內部，其中 $\omega _{1}\in {\mathcal {R}}_{>0},a\in {\mathcal {R}},b\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $a<b$，如果存在 $P,Q\in {\mathcal {S}}^{n}$ 和 ${\overline {\omega }}_{1}\in {\mathcal {R}}_{>0}$，其中 $Q\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}-Q&P\\P^{T}&(\omega _{1}-{\overline {\omega }}_{1})^{2}Q\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}^{T}\pi _{c}(a,b){\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}<0$.

如果 $\omega _{1}\rightarrow \infty ,P>0.$ 且 Q = 0，則可以恢復傳統的圓錐扇區引理。引數 ${\overline {\omega }}_{1}$ 包含在上面的 LMI 中，有效地將 $|\omega |\leq (\omega _{1}-{\overline {\omega }}_{1})$ 轉換為嚴格不等式 $|\omega |<\omega _{1}$

2. (中頻範圍) 系統 ${\mathcal {G}}$ 在錐形區域 $[a,b]$ 內，對於所有 $\omega \in {\omega \in {\mathcal {R}}|\omega _{1}\leq |\omega |<\omega _{2},det(j\omega I-A)\neq 0}$ 都成立，其中 $\omega _{1},\omega _{2}\in {\mathcal {R}}_{>0},a\in {\mathcal {R}},b\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $a<b$，如果存在 $P,Q\in {\mathcal {C}}^{n}$ 和 ${\overline {\omega }}_{2}\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 以及 ${\hat {\omega }}_{2}=(\omega _{1}+{\tfrac {(\omega _{2}-{\hat {\omega }}_{2})}{2}}),$ 其中 $P^{H}=P,Q^{H}=Q$ 且 $Q\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}-Q&P+{\mathcal {j{\hat {\omega }}_{2}}}Q\\P-{\mathcal {j{\hat {\omega }}_{2}}}Q&\omega _{1}(\omega _{2}-{\hat {\omega }}-2)Q\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}^{T}\pi _{c}(a,b){\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}<0$.

引數 ${\overline {\omega }}_{2}$ 包含在上面的 LMI 中，有效地將 $\omega _{1}\leq |\omega |\leq (\omega _{2}-{\overline {\omega }}_{2})$ 轉化為嚴格不等式 $\omega _{1}\leq |\omega |<\omega _{2}$。

3. (高頻範圍) 系統 ${\mathcal {G}}$ 位於錐體 $[a,b]$ 內，對於所有 $\omega \in {\omega \in {\mathcal {R}}|\omega _{2}<|\omega |,det(j\omega I-A)\neq 0}$，其中 $\omega _{2}\in {\mathcal {R}}_{>0},a\in {\mathcal {R}},b\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $a<b$，如果存在 $P,Q\in {\mathcal {S}}^{n}$，其中 $Q\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}-Q&P\\P^{T}&\omega _{2}^{2}Q\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}^{T}\pi _{c}(a,b){\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}<0$.

如果 (A, B, C, D) 是一個最小實現，那麼上面所有 LMI 中的矩陣不等式都可以是非嚴格的。

結論

如果存在一個正定的 $q$ 矩陣，滿足給定頻率頻寬的上述 LMI，則系統 ${\mathcal {G}}$ 位於錐體 [a,b] 內。

實現

使用 MATLAB 實現此 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

相關 LMI

KYP 引理
狀態空間穩定性
外部圓錐扇區引理
修改後的外部圓錐扇區引理

參考文獻

1. J. C. Willems，"耗散動力系統 - 第一部分：一般理論"，理性力學與分析檔案，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 頁，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，"非線性耗散系統的穩定性"，IEEE 自動控制交易，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 頁，1976 年。
3. 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用，作者 Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2
4. Bridgeman, Leila Jasmine 和 James Richard Forbes。“外部圓錐扇區引理”。國際控制雜誌 88.11 (2015): 2250-2263。