控制中的 LMI/pages/廣義李雅普諾夫定理

WIP，描述正在進行中

該定理可以被視為對眾所周知的連續時間和離散時間李雅普諾夫定理的真正本質推廣。

克羅內克積

一對矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ 和 $B\in \mathbb {R} ^{p\times q}$ 的克羅內克積定義如下

$A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\a_{21}B&a_{22}B&\cdots &a_{2n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{mp\times nq}$.

引理 1：克羅內克積的操作規則

令 $A,B,C$ 是具有適當維度的矩陣。那麼，克羅內克積具有以下性質

• $1\otimes A=A$;
• $(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$
• $(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)$
• $(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}$
• $(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$
• $\lambda (A\otimes B)={\lambda _{i}(A)\lambda _{j}{B}}$

定理

從克羅內克積的角度來看，以下定理給出了$\mathbb {D}$穩定條件對於一般 LMI 區域情況的結論：令$\mathbb {D} =\mathbb {D} _{L,M}$ 為一個 LMI 區域，其特徵函式為

$F_{\mathbb {D} }=L+sM+{\overline {s}}M^{T}$

那麼，一個矩陣$A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 是 $\mathbb{D}_{L,M}$ 穩定的，當且僅當存在對稱正定矩陣$P$ 使得

$R_{\mathbb {D} }(A,P)=L\otimes P+M\otimes (AP)+M^{T}\otimes (AP)^{T}<0$,

其中$\otimes$ 表示克羅內克積。

引理 2

給定兩個 LMI 區域 $\mathbb {D} _{1}$ 和 $\mathbb {D} _{2}$，矩陣 $A$ 同時是 $\mathbb {D} _{1}$-穩定和 $\mathbb {D} _{2}$-穩定，如果存在正定矩陣 $P$，使得 $R_{\mathbb {D} _{1}}(A,P)<0$ 和 $R_{\mathbb {D} _{2}}(A,P)<0$.

${\displaystyle }$ 待補充，需要新增更多參考資料

外部連結

列出記錄和驗證 LMI 的參考文件。