控制中的LMI/頁面/H2-OSE

控制中的LMI/頁面/H2-OSE

穩定系統H的H2範數是系統衝激響應的均方根。H2範數衡量了單位噪聲輸入對輸出響應的穩態協方差（或功率）。在本模組中，H₂最優狀態估計的目標是設計一個觀測器，使閉環傳遞矩陣的H₂範數最小

系統

考慮連續時間廣義系統P具有狀態空間實現

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)&x(0)=x_{0}\\y(t)&=C_{1}x(t)+D_{1}u(t)+D_{2}w(t)\\&z(t)=C_{2}x(t)\end{aligned}}

假設（A,C₂）是可檢測的。形式為

資料

$x$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ⁿ, $y$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^l, $z$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^m分別是狀態向量、測量的

輸出向量，以及感興趣的輸出向量

$w$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^p和 $u$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^r分別是擾動向量和控制向量，

分別

A, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁, 和 D₂ 是系統的係數矩陣，

具有適當的維數。

最佳化問題

給定系統和一個正標量 $\gamma$ 我們必須找到矩陣 L 使得

|| $G_{zw}(s)$ ||₂ < $\gamma$

形式為

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+(Ly-Ly)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)\\{\dot {x}}(t)=(A+LC_{1})x(t)-Ly+(B_{1}+LD_{1})u(t)\\+(B_{2}+LD_{2})w(t)\end{aligned}}

需要設計，其中 L 是觀測器增益。
定義誤差狀態為
$e=x-{\hat {x}}$
發現斷裂動力學為

{\begin{aligned}{\dot {e}}=(A+LC_{1})e+(B_{2}+LD_{2})w\\{\bar {z}}(t)=C_{2}e\end{aligned}}

對於該系統，我們以以下形式引入一個完全狀態觀測器
${\dot {\hat {x}}}=(A+LC_{1}){\hat {x}}-Ly+(B_{1}+LD_{1})u$ ${\hat {x}},L$ 分別是觀測向量和觀測器增益。
這種情況下的傳遞函式是
$G_{zw}(s)=C_{2}(sI-A-LC_{1})^{-1}(B_{2}+LD_{2})$
因此， $H_{2}$ 狀態觀測器設計問題就是找到這樣的 L，使得
|| $G_{zs}(s)||_{2}<\gamma$

LMI：H₂ 觀測器估計的 LMI

H₂ 狀態觀測器問題有解當且僅當存在矩陣 $W$ ，對稱矩陣 $Q$ 和對稱矩陣 $X$ 使得

{\begin{bmatrix}XA+WC_{1}+(XA+WC_{1})^{T}&XB_{2}+WD_{2}\\(XB_{2}+WD_{2})^{T}&-I\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

{\begin{bmatrix}-Q&C_{2}\\C_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

{\begin{aligned}trace(Q)<\gamma ^{2}\end{aligned}}

透過上述 LMI 的解，我們可以得到觀測器矩陣為

L=X^{-1}W

結論

因此，透過公式化，我們將 H₂ 狀態觀測器設計問題轉化為一個 LMI 可行性問題，透過最佳化上述 LMI 來實現。在應用中，我們通常關注尋找最小衰減水平 $\gamma$

在使用 YALMIP 和 MOSEK（或）SeDuMi 對上述 LMI 進行實現和最佳化時，我們會得到 3 個矩陣作為輸出， $X,WandQ$ ，以及 $\rho$ ，它用於計算 $\gamma$ ，即系統的 H₂ 範數。