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H2 最優濾波器

最優濾波的目標是設計一個濾波器，該濾波器作用於廣義系統的輸出 ${\mathbf {z}}$ ，並最佳化從 ${\mathbf {w}}$ 到濾波輸出的傳遞矩陣。

系統

考慮具有最小狀態空間表示的連續時間廣義 LTI 系統

${\mathbf {\dot {x}}}={\mathbf {Ax}}+{\mathbf {B}}_{1}{\mathbf {w}},$

${\mathbf {z}}={\mathbf {C}}_{1}{\mathbf {x}}+{\mathbf {D}}_{11}{\mathbf {w}},$

${\mathbf {y}}={\mathbf {C}}_{2}{\mathbf {x}}+{\mathbf {D}}_{21}{\mathbf {w}},$

假設 ${\mathbf {A}}$ 是 Hurwitz。具有狀態空間表示的連續時間動態 LTI 濾波器

${\mathbf {\dot {x}}}_{f}={\mathbf {A}}_{f}{\mathbf {x}}_{f}+{\mathbf {B}}_{f}{\mathbf {y}},$

${\mathbf {\hat {z}}}={\mathbf {C}}_{f}{\mathbf {x}}_{f}+{\mathbf {D}}_{f}{\mathbf {y}},$

被設計為最佳化從 ${\mathbf {w}}$ 到 ${\mathbf {\tilde {z}}}={\mathbf {z}}-{\mathbf {\hat {z}}}$ 的傳遞函式，它由

${\tilde {\mathbf {P}}}(s)={\tilde {\mathbf {C}}}_{1}(s{\mathbf {I}}-{\tilde {\mathbf {A}}})^{-1}{\tilde {\mathbf {B}}}_{1}+{\tilde {\mathbf {D}}}_{11},$

其中

${\tilde {\mathbf {A}}}={\begin{bmatrix}{\mathbf {A}}&{\mathbf {0}}\\{\mathbf {B}}_{f}{\mathbf {C}}_{2}&{\mathbf {A}}_{f}\end{bmatrix}},$

${\tilde {\mathbf {B}}}_{1}={\begin{bmatrix}{\mathbf {B}}_{1}\\{\mathbf {B}}_{f}{\mathbf {D}}_{21}\end{bmatrix}},$

${\tilde {\mathbf {C}}}_{1}={\begin{bmatrix}{\mathbf {C}}_{1}-{\mathbf {D}}_{f}{\mathbf {C}}_{2}&-{\mathbf {C}}_{f}\end{bmatrix}},$

${\tilde {\mathbf {D}}}_{11}={\mathbf {D}}_{11}-{\mathbf {D}}_{f}{\mathbf {D}}_{21}.$

最優濾波器旨在最小化傳遞函式 ${\tilde {\mathbf {P}}}(s).$ 的給定範數。有兩種合成 H2 最優濾波器的方法。

合成 1

求解 ${\mathbf {A}}_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}},{\mathbf {B}}_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}},{\mathbf {C}}_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{z}\times n_{x}},{\mathbf {D}}_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{z}\times n_{y}},{\mathbf {X,Y}}\in \S ^{n_{x}},{\mathbf {Z}}\in \S ^{n_{z}},$ 和 $\nu \in \mathbb {R} _{>0}$ ，使目標函式 $J(\nu )=\nu$ 最小化，受以下約束:

${\mathbf {X,Y,Z}}>0,$

${\mathbf {Y}}-{\mathbf {X}}>0,$

$tr({\mathbf {Z}})<\nu ,$

${\mathbf {D}}_{11}-{\mathbf {D}}_{f}{\mathbf {D}}_{21}={\mathbf {0}},$

${\begin{bmatrix}-{\mathbf {Z}}&{\mathbf {C}}_{1}-{\mathbf {D}}_{f}{\mathbf {C}}_{2}&-{\mathbf {C}}_{f}\\*&-{\mathbf {Y}}&-{\mathbf {X}}\\*&*&-{\mathbf {X}}\end{bmatrix}}<0,$

${\begin{bmatrix}{\mathbf {YA}}+{\mathbf {A}}^{T}{\mathbf {Y}}+{\mathbf {B}}_{n}{\mathbf {C}}_{2}+{\mathbf {C}}_{2}^{T}{\mathbf {B}}_{n}^{T}&{\mathbf {A}}_{n}+{\mathbf {C}}_{2}^{T}{\mathbf {B}}_{n}^{T}+{\mathbf {A}}^{T}{\mathbf {X}}&{\mathbf {YB}}_{1}+{\mathbf {B}}_{n}{\mathbf {D}}_{21}\\*&{\mathbf {A}}_{n}+{\mathbf {A}}_{n}^{T}&{\mathbf {XB}}_{1}+{\mathbf {B}}_{n}{\mathbf {D}}_{21}\\*&*&-{\mathbf {I}}\end{bmatrix}}<0.$

綜合 2

綜合 2 與綜合 1 相同，除了最後兩個矩陣不等式約束

${\begin{bmatrix}-{\mathbf {Z}}&{\mathbf {B}}_{1}^{T}{\mathbf {Y}}^{T}+{\mathbf {D}}_{21}^{T}{\mathbf {B}}_{n}^{T}&{\mathbf {B}}_{1}^{T}{\mathbf {X}}^{T}+{\mathbf {D}}_{21}^{T}{\mathbf {B}}_{n}^{T}\\*&-{\mathbf {Y}}&-{\mathbf {X}}\\*&*&-{\mathbf {X}}\end{bmatrix}}<0,$

${\begin{bmatrix}{\mathbf {YA}}+{\mathbf {A}}^{T}{\mathbf {Y}}+{\mathbf {B}}_{n}{\mathbf {C}}_{2}+{\mathbf {C}}_{2}^{T}{\mathbf {B}}_{n}^{T}&{\mathbf {A}}_{n}+{\mathbf {C}}_{2}^{T}{\mathbf {B}}_{n}^{T}+{\mathbf {A}}^{T}{\mathbf {X}}&{\mathbf {C}}_{1}^{T}-{\mathbf {C}}_{2}^{T}{\mathbf {D}}_{f}^{T}\\*&{\mathbf {A}}_{n}+{\mathbf {A}}_{n}^{T}&-{\mathbf {C}}_{f}^{T}\\*&*&-{\mathbf {I}}\end{bmatrix}}<0.$

備註

在這兩種情況下，如果 ${\mathbf {D}}_{11}=0$ 並且 ${\mathbf {D}}_{21}\neq 0,$ ，那麼選擇 ${\mathbf {D}}_{f}=0$ 來滿足上述的等式約束通常是最簡單的。

結論

在這兩種情況下，最優 H2 濾波器由狀態空間矩陣 ${\mathbf {A}}_{f}={\mathbf {X}}^{-1}{\mathbf {A}}_{n},{\mathbf {B}}_{f}={\mathbf {X}}^{-1}{\mathbf {B}}_{n},{\mathbf {C}}_{f},$ 以及 ${\mathbf {D}}_{f}.$ 恢復。