控制中的 LMI/pages/H2 最優濾波器

最優濾波是一種在存在噪聲和干擾訊號的情況下自適應提取所需弱訊號的方法。最優濾波器通常沒有穩定性問題。當使用最優濾波器時，有一些簡單的執行檢查可以指示它是否正常工作。最優濾波器可能比次優濾波器更容易適應引數變化。最優濾波的目標是設計一個濾波器，該濾波器作用於廣義系統的輸出 $z$ ，並最佳化從 w 到濾波輸出的傳遞矩陣。

系統

考慮具有最小狀態空間實現的連續時間廣義 LTI 系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}w\\z&=C_{1}x+D_{11}w,\\y&=C_{2}x+D_{21}w,\end{aligned}}

假設 $A$ 是 Hurwitz。

資料

作為輸入所需的矩陣是 $A,B_{1},C_{2},D_{21}$ .

最佳化問題

一個 $H_{2}$ -最優濾波器旨在最小化 $H_{2}$ 範數 ${\tilde {P}}(s)$ 在以下等式中。

{\begin{aligned}{\tilde {P}}(s)={\tilde {C}}_{1}(sI-{\tilde {A}})^{-}1{\tilde {B}}_{1}+{\tilde {D}}_{11},\\{\text{where}}\\{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&&0\\B_{f}C_{2}&&A_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {B}}_{1}={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{f}D_{21}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {C}}_{1}={\begin{bmatrix}C_{1}-D_{f}C_{2}-C_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {D}}_{11}=D_{11}-D_{f}D_{21}\\\end{aligned}}

為了確保 ${\tilde {P}}(s)$ 的 $H_{2}$ 範數是有限的，我們需要 $D_{f}=D_{11}$ ，這將導致 ${\tilde {D}}_{11}=D_{11}-D_{f}=0$

LMI: $H_{2}$ - 最優濾波器

求解 $A_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}},B_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}},C_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}}$ , $X,Y\in \mathbb {S} ^{n_{x}},Z\in \mathbb {S} ^{n_{z}}$ 和 $\nu \in \mathbb {R} _{>0}$ ，使得 $\zeta (\nu )=\nu$ 在以下約束條件下最小化： $X>0,Y>0,Z>0$ .