控制中的 LMI / 頁面 / H2 最優濾波器

最優濾波是在存在噪聲和干擾訊號的情況下自適應地提取弱期望訊號的一種手段。最優濾波器通常沒有穩定性問題。當最優濾波器使用時，有一些簡單的操作檢查可以表明它是否正常工作。與次優濾波器相比，最優濾波器可能更容易適應引數變化。最優濾波器的目標是設計一個濾波器，該濾波器作用於廣義系統的輸出 $z$ ，並最佳化從 w 到濾波輸出的傳遞矩陣。

系統

考慮具有最小狀態空間實現的連續時間廣義 LTI 系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}w\\z&=C_{1}x+D_{11}w,\\y&=C_{2}x+D_{21}w,\end{aligned}}

其中假設 $A$ 是 Hurwitz。

資料

作為輸入所需的矩陣是 $A,B_{1},C_{2},D_{21}$ .

最佳化問題

一個 $H_{2}$ - 最優濾波器旨在最小化 $H_{2}$ 規範 ${\tilde {P}}(s)$ 在以下等式中。

{\begin{aligned}{\tilde {P}}(s)={\tilde {C}}_{1}(sI-{\tilde {A}})^{-}1{\tilde {B}}_{1}+{\tilde {D}}_{11},\\{\text{where}}\\{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&&0\\B_{f}C_{2}&&A_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {B}}_{1}={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{f}D_{21}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {C}}_{1}={\begin{bmatrix}C_{1}-D_{f}C_{2}-C_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {D}}_{11}=D_{11}-D_{f}D_{21}\\\end{aligned}}

為了確保 ${\tilde {P}}(s)$ 具有有限的 $H_{2}$ 範數，需要 $D_{f}=D_{11}$ ，從而得到 ${\tilde {D}}_{11}=D_{11}-D_{f}=0$

LMI： $H_{2}$ - 最優濾波器

求解 $A_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}},B_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}},C_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}}$ , $X,Y\in \mathbb {S} ^{n_{x}},Z\in \mathbb {S} ^{n_{z}}$ 和 $\nu \in \mathbb {R} _{>0}$ ，使得 $\zeta (\nu )=\nu$ 在以下約束條件下最小化： $X>0,Y>0,Z>0$ .