控制中的 LMI /pages/H2SO

控制中的 LMI/pages/H2SO 我們處理為下面提到的系統設計一個全階狀態觀測器的問題。其目的是減輕擾動 $w(t)$ 對估計誤差的影響，並將其抑制在所需水平。

系統

考慮連續時間廣義系統P具有狀態空間實現

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)&x(0)=x_{0}\\y(t)&=C_{1}x(t)+D_{1}u(t)+D_{2}w(t)\\&z(t)=C_{2}x(t)\end{aligned}}

其中假設 $(A,C_{2})$ 是可檢測的。一個形式為

資料

$x$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ⁿ, $y$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^l, $z$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^m分別是狀態向量、測量

輸出向量以及感興趣的輸出向量

$w$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^p以及 $u$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^r分別是擾動向量和控制向量。

分別

A, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁ 和 D₂ 是系統的係數矩陣

適當的維度

最佳化問題

對於該系統，我們以如下形式引入一個全狀態觀測器
${\dot {\hat {x}}}=(A+LC_{1}){\hat {x}}-Ly+(B_{1}+LD_{1})u$ ${\hat {x}},L$ 分別是觀測向量和觀測器增益。
此情況下的傳遞函式為
$G_{zw}(s)=C_{2}(sI-A-LC_{1})^{-1}(B_{2}+LD_{2})$
因此， $H_{2}$ 狀態觀測器設計的目標是找到滿足以下條件的 L：
|| $G_{zs}(s)||_{2}<\gamma$
誤差 : $e=x-{\hat {x}}$

LMI：H₂ 狀態觀測器設計 LMI

H₂ 狀態觀測器問題有解當且僅當存在矩陣 $W$ ，對稱矩陣 $Q$ 和對稱矩陣 $X$ 使得

{\begin{bmatrix}XA+WC_{1}+(XA+WC_{1})^{T}&XB_{2}+WD_{2}\\(XB_{2}+WD_{2})^{T}&-I\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

{\begin{bmatrix}-Q&C_{2}\\C_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

{\begin{aligned}trace(Q)<\gamma ^{2}\end{aligned}}

根據上述 LMI 的解，我們可以得到觀測器矩陣：

L=X^{-1}W

結論

因此，透過公式化，我們將 H₂ 狀態觀測器設計問題轉化為了 LMI 可行性問題，並透過最佳化上述 LMI 來實現。在應用中，我們通常關心的是尋找最小衰減水平 $\gamma$

使用 YALMIP 和 MOSEK (或) SeDuMi 對上述 LMI 進行實現和最佳化，我們可以得到 3 個矩陣作為輸出： $X,WandQ$ ，以及 $\rho$ ，用於計算 $\gamma$ ，即系統的 H₂ 範數。