控制中的 LMI/頁面/H 無窮大 輸出最優控制

$H_{\infty }$ 具有瞬態的系統的最優輸出可控性

此 LMI 提供了一個 $H_{\infty }$ 最優輸出可控性問題，以檢查具有未知外生擾動和初始條件的系統是否存在這樣的控制器。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}v+B_{2}u,x(0)=x_{0},\\z&=C_{1}x+D_{11}v+D_{12}u,\\y&=C_{2}x+D_{21}v,\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 是狀態，$v\in \mathbb {R} ^{r}$ 是外生輸入，$u\in \mathbb {R} ^{m}$ 是控制輸入，$y\in \mathbb {R} ^{p}$ 是測量的輸出，而 $z\in \mathbb {R} ^{s}$ 是被控輸出。

資料

需要已知系統矩陣 $(A,B_{1},B_{2},C_{1},C_{2},D_{11},D_{12},D_{21},D_{22})$。假設 $v\in L_{2}[0,\infty )$。$N_{1},N_{2}$ 是矩陣，它們的列構成 $C_{2}D_{21}$ 和 $C_{2}D_{12}$ 核的基。

最佳化問題

對於給定的 $\gamma$，需要滿足以下 $H_{\infty }$ 條件

$\gamma _{w}=sup_{\|v\|_{\infty }^{2}+x_{0}^{\top }Rx_{0}\neq 0}{\frac {\|z\|_{\infty }}{(\|v\|_{\infty }^{2}+x_{0}^{\top }Rx_{0})^{1/2}}}<\gamma _{w},$

LMI: $H_{\infty }$ 輸出反饋控制器，用於具有瞬態的系統

${\begin{aligned}&{\text{min}}_{\gamma ,X_{11},Y_{11}}:\gamma \\&{\text{subj. to: }}X_{11}>0,Y_{11}>0,\\&\quad {\begin{bmatrix}N_{1}&0\\0&I\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}A^{\top }X_{11}+X_{11}A&X_{11}B_{1}&C_{1}^{\top }\\*&-\gamma ^{2}I&D_{11}^{\top }\\*&*&-I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}N_{1}&0\\0&I\end{bmatrix}}<0,\\&\quad {\begin{bmatrix}N_{2}&0\\0&I\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}AY_{11}+Y_{11}A^{\top }&Y_{11}C_{1}^{\top }&B_{1}\\*&-I&D_{11}\\*&*&-\gamma ^{2}I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}N_{2}&0\\0&I\end{bmatrix}}<0,\\&\quad {\begin{bmatrix}X_{11}&I\\I&Y_{11}\end{bmatrix}}\geq 0,X_{11}<\gamma ^{2}R,\end{aligned}}$

結論

上述 LMI 的解可以檢驗是否有存在 $H_{\infty }$ 針對具有瞬態系統的最優輸出控制器。

實現

指向 CodeOcean 或 LMI 線上實現的其他平臺的連結

相關 LMI

指向其他密切相關的 LMI 的連結

外部連結

• 基於 LMI 的 $H_{\infty }$ - 具有瞬態的最優控制 指向原始文章的連結。