控制中的 LMI/pages/Hinfinityoptimalfilter

最優濾波是一種在噪聲和干擾訊號存在的情況下自適應地提取弱期望訊號的方法。最優濾波的目標是設計一個濾波器，該濾波器作用於廣義系統的輸出 $z$ ，並最佳化從 w 到濾波輸出的傳遞矩陣。

系統

考慮具有最小狀態空間實現的連續時間廣義 LTI 系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}w\\z&=C_{1}x+D_{11}w,\\y&=C_{2}x+D_{21}w,\end{aligned}}

假設 $A$ 是 Hurwitz。

資料

作為輸入所需的矩陣是 $A,B_{1},C_{2},C_{1},,D_{11},D_{21}$ .

最佳化問題

一個 $H\infty$ -最優濾波器旨在最小化 $H_{\infty }$ 範數 ${\tilde {P}}(s)$ 在以下等式中。

{\begin{aligned}{\tilde {P}}(s)={\tilde {C}}_{1}(sI-{\tilde {A}})^{-}1{\tilde {B}}_{1}+{\tilde {D}}_{11},\\{\text{where}}\\{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&&0\\B_{f}C_{2}&&A_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {B}}_{1}={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{f}D_{21}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {C}}_{1}={\begin{bmatrix}C_{1}-D_{f}C_{2}-C_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {D}}_{11}=D_{11}-D_{f}D_{21}\\\end{aligned}}

LMI: $H_{\infty }$ - 最優濾波器

求解 $A_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}},B_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}},C_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}}$ ， $X,Y\in \mathbb {S} ^{n_{x}}$ 和 $\nu \in \mathbb {R} _{>0}$ ，使得 $\zeta (\nu )=\nu$ 在 $X>0,Y>0$ 的條件下被最小化。