控制中的LMI/頁面/最優控制的逆問題

控制中的LMI/頁面/最優控制的逆問題

在某些情況下，需要在LQR框架內解決最優控制的逆問題。在這個逆問題中，需要透過確保給定的控制器矩陣是某個可控且可檢測的LQR最佳化問題的最優解來驗證該控制器矩陣是否適用於該系統。換句話說：在這個逆問題中，控制器是已知的，需要計算LQR增益矩陣，以使控制器成為最優解。

系統

該系統是一個線性時不變系統，可以用如下所示的狀態空間表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu,\\z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中，$x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分別代表狀態向量、測量輸出向量和感興趣的輸出向量，$w\in R^{p}$ 是擾動向量，$A,B,C,Q,R$ 是適當維度的系統矩陣。進一步定義：$x$ 是 $\in R^{n}$ 且為狀態向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 且為狀態矩陣，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 且為輸入矩陣，$w$ 是 $\in R^{r}$ 且為外生輸入，$C,Q,R$ 是 $\in R^{m*n}$ 且為輸出矩陣，$y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 且分別為輸出和感興趣的輸出。

資料

定義系統的矩陣 $A,B,C$ 以及給定的控制器 $K$，需要針對其解決逆問題。

最佳化問題

在這個 LMI 中，對於給定的控制器 K，需要透過尋找最優輸入來最小化以下成本函式

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }z^{T}zdt\end{aligned}}$

該問題的解可以表述為一個狀態反饋控制器，其表示式為

${\begin{aligned}K&=-R^{-1}B^{T}P,\\A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q&=0\end{aligned}}$

LMI： 最優控制的逆問題

最優控制的逆問題如下：給定矩陣 $K$，確定是否存在 $Q\geq 0$ 和 $R>0$，使得 $(Q,A)$ 是可檢測的，並且 $u=Kx$ 是相應 LQR 問題的最優控制。等效地，我們要尋找 $R>0$ 和 $Q\geq 0$，使得存在非負的 $P$ 和正定的 $P_{1}$ 滿足

${\begin{aligned}(A+BK)^{T}P+P(A+BK)+K^{T}RK+Q&=0\\B^{T}P+RK&=0\\A^{T}P_{1}+P_{1}A&<Q\end{aligned}}$

結論

如果解存在，那麼 $K$ 是矩陣 $Q$ 和 $R$ 上LQR最佳化的最優控制器。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/inverseprob.m

相關 LMI

1. 多標準 LQG]

外部連結

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於 LMI 在控制中的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。