控制中的 LMI/pages/KYP 引理（有界實引理）

KYP 引理（有界實引理）

卡爾曼-波波夫-雅庫波維奇 (KYP) 引理是控制理論中廣泛使用的引理。它有時也被稱為有界實引理。KYP 引理可用於確定 $H_{\infty }$ 系統的範數，也對證明許多 LMI 結果很有用。

系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ ， $u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ ，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。

矩陣 $A,B,C,D$ 是已知的。

必須解決以下最佳化問題。

{\begin{aligned}&{\underset {\gamma ,\;X}{\operatorname {minimize} }}\quad \gamma \\&\operatorname {subject\;to} &X>0\\&&{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB\\B^{T}X&-\gamma I\end{bmatrix}}+{\frac {1}{\gamma }}{\begin{bmatrix}C^{T}\\D^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C&D\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

假設 ${\hat {G}}(s)(A,B,C,D)$ 是該系統。那麼以下等價。

1)\quad \left\|G\right\|_{H_{\infty }}\leq \gamma

2)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB\\B^{T}X&-\gamma I\end{bmatrix}}+{\frac {1}{\gamma }}{\begin{bmatrix}C^{T}\\D^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C&D\end{bmatrix}}<0

KYP 引理可用於找到 $\gamma$ 對系統的 $H_{\infty }$ 範數的界限。從 LMI 的 (1,1) 塊可以看出 $A$ 是 Hurwitz。

由於上面顯示的 KYP 引理在 gamma 中是非線性的，為了在 MATLAB 中實現它，我們必須首先使用 Schur 補線性化它，以得到下面的對偶公式。

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB&C^{T}\\B^{T}X&-\gamma I&D^{T}\\C&D&-\gamma I\end{bmatrix}}<0

.

此對偶 KYP LMI 現在線上性 $X$ 和 $\gamma$ 方面都是線性的。

此實現需要使用 Yalmip 和 Sedumi。

記錄和驗證 LMI 的參考資料列表。