控制中的 LMI/pages/KYP 引理 QSR

概念

在系統理論中，耗散性概念首先由 Willems 引入，它用輸入-輸出特性來描述動態系統。考慮一個由其狀態 $x(t)$、輸入 $u(t)$ 和輸出 $y(t)$ 描述的動態系統，輸入-輸出相關性給出了一個供應速率 $w(u(t),y(t))$。如果存在一個連續可微的儲存函式 $V(x(t))$ 使得 $V(0)=0$，$V(x(t))\geq 0$ 且

${\dot {V}}(x(t))\leq w(u(t),y(t))$

作為耗散性的一個特例，如果上述耗散性不等式相對於被動性供應速率 $w(u(t),y(t))=u(t)^{T}y(t)$ 成立，則稱該系統是被動的。

物理解釋是 $V(x)$ 是儲存在系統中的能量，而 $w(u(t),y(t))$ 是供應給系統的能量。

這種概念與李雅普諾夫穩定性有密切聯絡，在動態系統可控性和可觀測性的某些條件下，儲存函式可以起到李雅普諾夫函式的作用。

簡而言之，耗散性理論可用於設計線性系統和非線性系統的反饋控制律。耗散系統理論已被 Vasile M. Popov、Jan Camiel Willems、D.J. Hill 和 P. Moylan 討論過。對於線性不變系統，這被稱為正實傳遞函式，一個基本工具是所謂的 Kalman-Yakubovich-Popov 引理，它將正實系統的狀態空間和頻域特性聯絡起來。耗散系統由於其重要的應用，仍然是系統和控制研究中的一個活躍領域。

系統

考慮一個連續時間 LTI 系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，具有最小的狀態空間實現 **(A, B, C, D)**，其中 ${\mathcal {A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

資料

矩陣 $A,B,C$ 和 $D$ 定義了系統的狀態空間

最佳化問題

系統 ${\mathcal {G}}$ 是 **QSR** 耗散的，如果

$\int _{0}^{T}(y^{T}(t)Qy(t)+2y^{T}Su(t)+u^{T}(t)Ru(t))\,dt\geq 0,\forall u\in {\mathcal {L}}_{2e},\forall T\geq 0$

其中 $u(t)$ 是 ${\mathcal {G}},y(t)$ 的輸出，${\mathcal {G}},Q\in {\mathcal {S}}^{p},S\in {\mathcal {R}}^{p\times m},$ 和 ${\mathcal {R}}\in {\mathcal {S}}^{m}$。

LMI: QSR 耗散系統的 KYP 引理

系統 ${\mathcal {G}}$ 也是QSR耗散的當且僅當存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $P>0,$ 使得

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}QC&PB-C^{T}S-C^{T}QD\\(PB-C^{T}S-C^{T}QD)^{T}&-D^{T}QD-(D^{T}S+S^{T}D)-R\end{bmatrix}}\leq 0.$

結論

如果對於選定的Q,S和R矩陣，存在一個正定的 $P$，那麼系統 ${\mathcal {G}}$ 是QSR耗散的。

實現

使用MATLAB實現此LMI的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

相關LMI

KYP引理

參考文獻

1. J. C. Willems，“耗散動力系統 - 第一部分：一般理論”，《合理力學與分析檔案》，第 45 卷，第 5 期，第 321–351 頁，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非線性耗散系統的穩定性”，《IEEE 自動控制學報》，第 21 卷，第 5 期，第 708–711 頁，1976 年。
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 著，《系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用》