控制中的 LMI/pages/描述系統 KYP 引理

概念

描述系統描述通常出現在解決標準線性系統分析和設計中的計算問題時。許多標準控制問題的數值可靠解，例如 Riccati 方程的解、系統零點的計算、故障檢測和隔離濾波器 (FDI) 的設計等，都依賴於使用描述系統技術。

許多針對標準系統的演算法，例如穩定化技術、因式分解方法、最小實現、模型降階等，都已擴充套件到更一般的描述系統描述。這些演算法的一個重要應用是透過等效描述表示對有理矩陣和多項式矩陣進行數值可靠計算。回想一下，每個有理矩陣 R(s) 可以被看作是連續或離散時間描述系統的傳遞函式矩陣。因此，每個 R(s) 可以等效地由一個描述系統四元組 (A-sE, B, C, D) 實現，滿足 R(S)= C(SE-A)^-1B+D

許多針對標準矩陣的操作（例如，求秩、行列式、逆或廣義逆），或者線性矩陣方程的求解，也可以使用描述系統技術對有理矩陣進行。描述技術的其他重要應用是多項式矩陣和有理矩陣的內外因式分解和譜因式分解，或最小度和規範互素因式分解。更多解釋可以在 系統動力學與控制研究所 網站上找到。

系統

考慮一個平方連續時間線性時不變 (LTI) 系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，其最小狀態空間實現為 (E, A, B, C, D)，其中 ${\mathcal {E,A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$.

${\begin{aligned}E{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

資料

矩陣 $E,A,B,C$ 和 $D$

LMI : 描述系統的 KYP 引理

如果系統 ${\mathcal {G}}$ 是擴充套件嚴格正實 (ESPR)，當且僅當存在 $X\in {\mathcal {R}}^{n\times n}$ 和 $W\in {\mathcal {R}}^{n\times m}$ 使得

$E^{T}X=X^{T}E\geq 0$

$E^{T}W=0$

${\begin{bmatrix}X^{T}A+A^{T}X&A^{T}W+X^{T}B-C^{T}\\(A^{T}W+X^{T}B-C^{T})^{T}&W^{T}B+B^{T}W-(D^{T}+D)\end{bmatrix}}<0.$

系統也為 ESPR，如果存在 ${\mathcal {X}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n}$ 使得

$E^{T}X=X^{T}E\geq 0$

${\begin{bmatrix}X^{T}A+A^{T}X&X^{T}B-C^{T}\\(X^{T}B-C^{T})^{T}&-(D^{T}+D)\end{bmatrix}}<0.$

結論

如果存在滿足上述 LMI 的 X 和 W 矩陣，那麼系統 ${\mathcal {G}}$ 是 **擴充套件嚴格正實** 的。

實現

使用 MATLAB 實現此 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

相關 LMI

KYP 引理
狀態空間穩定性
具有饋通的離散時間 KYP 引理

參考文獻

1. J. C. Willems，“耗散動力系統 - 第一部分：一般理論”，理性力學與分析檔案，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 頁，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非線性耗散系統的穩定性”，IEEE 自動控制事務，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 頁，1976 年。
3. 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用，作者：Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2
4. Brogliato B.、Maschke B.、Lozano R.、Egeland O. (2007) Kalman-Yakubovich-Popov 引理。在：耗散系統分析與控制。通訊與控制工程。施普林格，倫敦
5. 描述系統分析和建模的數值演算法和軟體工具。捷克斯洛伐克布拉格第二屆 IFAC 系統結構與控制研討會論文集，第 392-395 頁，1992 年。