控制中的LMI/頁面/無饋通的KYP引理

概念

該引理假設狀態空間表示 (A, B, C, D) 是極小的。然後，傳遞函式 C(SI − A)^-1B + D 的正實性（PR）等價於此頁面中給出的 LMI 集合的可解性。現在考慮以下標量示例，其中 (A, B, C, D)=(−α, 0, 0, 1)，其中 α > 0。傳遞函式為 H(s) = 0，它是 PR 的。

系統

考慮一個連續時間 LTI 系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，具有最小狀態空間實現 (A, B, C, 0)，其中 ${\mathcal {A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},$ 和 ${\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{m\times n},$.

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)\\\end{aligned}}$

資料

矩陣 矩陣 $A,B$ 和 $C$

LMI : 無饋通的KYP引理

系統 ${\mathcal {G}}$ 在以下任意一個等效的充要條件下都是正實（PR）的。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $p>0$ 使得

${\begin{aligned}PA+A^{T}P\geq 0\\PB=C^{T}\end{aligned}}$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{aligned}AQ+QA^{T}\geq 0\\B=QC^{T}\end{aligned}}$

這是一個針對具有 **Q = 0，Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 消散系統的 *KYP* 引理的特例。

系統 ${\mathcal {G}}$ 在以下等效的必要充分條件中的任何一個成立時，為嚴格正實 (SPR)。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $p>0$ 使得

${\begin{aligned}PA+A^{T}P<0\\PB=C^{T}\end{aligned}}$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{aligned}AQ+QA^{T}<0\\B=QC^{T}\end{aligned}}$

這是一個針對具有 **Q = ε1，Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 消散系統的 *KYP* 引理的特例。其中 ε $\in {\mathcal {R}}_{>0}.$

結論

如果對於選擇的 **Q，S** 和 **R** 矩陣存在一個正定 $P$，那麼系統 ${\mathcal {G}}$ 為 **正實**。

實現

使用 MATLAB 實現此 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

相關 LMI

KYP 引理
狀態空間穩定性
具有饋通的離散時間 KYP 引理

參考文獻

1. J. C. Willems，“消散動力系統 - 第一部分：一般理論”，理性力學和分析檔案，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 頁，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非線性消散系統的穩定性”，IEEE 自動控制交易，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 頁，1976 年。
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 撰寫的《系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用》
4. Brogliato B.，Maschke B.，Lozano R.，Egeland O. (2007) 卡爾曼-雅庫博維奇-波波夫 引理。在：消散系統分析和控制。通訊和控制工程。Springer，倫敦