控制中的LMI/頁面/具有乘性噪聲的系統的L2增益

系統

${\begin{aligned}x(k+1)&=Ax(k)+B_{w}w(k)+\sum _{i=1}^{L}(A_{i}x(k)+B_{w,i}w(k))p_{i}(k),\quad x(0)=0,\\z(k)&=C_{z}x(k)+D_{zw}w(k)+\sum _{i=1}^{L}(C_{z,i}x(k)+D_{zw,i}w(k))p_{i}(k),\end{aligned}}$

其中 $p(0),p(1),\dots$，是具有 $Ep(k)=0,Ep(k)p^{\top }(k)=\Sigma =diag(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{L})$ 的獨立同分布隨機變數，並且 $x(0)$ 與過程 $p$ 獨立。

資料

矩陣 $A,B_{w},\{A_{i}.B_{w,i}\}_{i=1}^{L},C_{z},D_{zw},\{C_{z,i},D_{zw,i}\}_{i=1}^{L},\{\sigma _{i}\}_{i=1}^{L}$.

LMI

${\begin{aligned}&\min _{\{P\succ 0,\gamma ^{2}\}}\gamma ^{2}\\&\quad s.t.{\begin{bmatrix}A&B_{w}\\C_{z}&D_{zw}\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}P&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B_{w}\\C_{z}&D_{zw}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}P&0\\0&\gamma ^{2}I\end{bmatrix}}+\sum _{i=1}^{L}\sigma _{i}^{2}{\begin{bmatrix}A_{i}&B_{w,i}\\C_{z,i}&D_{zw,i}\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}P&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{i}&B_{w,i}\\C_{z,i}&D_{zw,i}\end{bmatrix}}^{\top }\preceq 0\end{aligned}}$

實現

https://github.com/mkhajenejad/Mohammad-Khajenejad/commit/a34713575cd8ae9831cb5b7eb759d0fd45a8c37f

結論

最優的$\gamma$ 返回了系統${\mathcal {L}}_{2}$ 增益的上界。

備註

使用縮放方法[Boyd, sec.6.3.4] 輕鬆獲得分量級結果。

外部連結

• 最優控制和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 特性及其應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的 LMI 可下載書籍。