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BTT導彈姿態控制的LMI，滾轉通道

銀行轉彎（BTT）導彈的動力學模型可以為了實際應用而簡化。BTT導彈的動力學模型由與非旋轉導彈使用的相同模型給出。但是，在這種情況下，我們可以假設導彈是軸對稱設計的，因此Jx = Jy。我們假設滾轉通道獨立於俯仰和偏航通道。

系統

俯仰通道的狀態空間表示可以寫成如下形式

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A(t)x(t)+B_{1}(t)u(t)+B_{2}(t)d(t)\\y(t)&=C(t)x(t)+D_{1}(t)u(t)+D_{2}(t)d(t)\end{aligned}}$

其中 $x(t)=[\omega _{x}\quad \phi ]^{\text{T}}$ 是狀態變數，$u(t)=\delta _{x}$ 是控制輸入，$y=\phi$ 是輸出。引數 $\omega _{x}$，$\phi$ 和 $\delta _{x}$ 分別表示滾轉角速度、滾轉角和副翼偏轉角。

資料

系統可以描述為

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {\omega }}_{x}(t)\\{\dot {\phi }}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-c_{1}(t)&0\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{x}(t)\\\phi (t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-c_{3}(t)\\0\end{bmatrix}}\delta _{x}(t)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y(t)=\phi (t)\end{aligned}}$

其可以用狀態空間形式表示為

${\begin{aligned}A(t)={\begin{bmatrix}-c_{1}(t)&0\\1&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}B_{1}(t)={\begin{bmatrix}-c_{3}(t)\\0\end{bmatrix}},\quad B_{2}(t)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}C(t)={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}D_{1}(t)=0,\quad D_{2}(t)=0\end{aligned}}$

其中$c_{1}(t)$ 和 $c_{3}(t)$ 是系統引數。

最佳化問題

最佳化問題是找到一個狀態反饋控制律$u=Kx$，使得

1. 閉環系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+B_{1}K)x+B_{2}d\\z&=(C+D_{1}K)x+D_{2}d\end{aligned}}$

是穩定的。

2. 傳遞函式的$H_{\infty }$範數

$G_{zd}(s)=(C+D_{1}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+D_{2}$

小於一個正標量值，$\gamma$。因此

$||G_{zd}(s)||_{\infty }<\gamma$

LMI：BTT導彈姿態控制的LMI

利用[1]中定理8.1，該問題可以等價地表示為以下形式

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\text{s.t.}}\quad X>0\\&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(CX+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma I&D_{2}^{T}\\CX+D_{1}W&D_{2}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

結論

如前所述，目標是衰減對導彈效能的干擾。引數$\gamma$是干擾衰減水平。但是，需要注意的是，BTT導彈滾轉通道的此模型非常簡單易於處理，沒有干擾需要衰減。當用於完整的BTT導彈模型以及俯仰/偏航通道時，出於完整性考慮，此處給出了此問題。當矩陣$W$和$X$在最佳化問題中確定後，控制器增益矩陣可以透過以下公式計算：

$K=WX^{-1}$

實現

GitHub儲存庫中有關該問題的MATLAB程式碼連結

https://github.com/scarris8/LMI-for-BTT-Missile-Roll-Control

相關LMI

非旋轉導彈姿態控制的LMI，俯仰通道

非旋轉導彈姿態控制的LMI，偏航/滾轉通道

外部連結

• [1] - 控制系統分析、設計與應用中的LMI

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