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非旋轉導彈姿態控制的LMI，俯仰通道

導彈的動力學模型非常複雜，因此使用簡化的模型。為此，我們考慮系統俯仰通道的簡化姿態系統模型。我們的目標是實現導彈的非旋轉運動。值得注意的是，俯仰通道和偏航/滾轉通道的姿態控制設計可以用完全相同的方式求解，而系統的矩陣表示不同。

系統

俯仰通道的狀態空間表示可以寫成如下形式

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A(t)x(t)+B_{1}(t)u(t)+B_{2}(t)d(t)\\y(t)&=C(t)x(t)+D_{1}(t)u(t)+D_{2}(t)d(t)\end{aligned}}$

其中 $x=[\alpha \quad w_{z}\quad \delta _{z}]^{\text{T}}$, $u=\delta _{zc}$ , $y=[\alpha \quad n_{y}]^{\text{T}}$, 和 $d=[\beta \quad w_{y}]^{\text{T}}$ 分別是狀態變數、控制輸入、輸出和擾動向量。引數 $\alpha$, $w_{z}$, $\delta _{z}$, $\delta _{zc}$, $n_{y}$, $\beta$, 和 $w_{y}$ 分別代表迎角、俯仰角速度、升降舵偏轉量、輸入執行機構偏轉量、側向過載、側滑角和偏航角速度。

資料

在上述俯仰通道系統中，矩陣$A(t),B_{1}(t),B_{2}(t),C(t),D_{1}(t),$ 和 $D_{2}(t)$ 給出如下：

${\begin{aligned}A(t)={\begin{bmatrix}-a_{4}(t)&1&-a_{5}(t)\\-{\acute {a}}_{1}(t)a_{4}(t)-a_{2}(t)&{\acute {a}}_{1}(t)-a_{1}(t)&{\acute {a}}_{1}(t)a_{5}(t)-a_{3}(t)\\0&0&-1/\tau _{z}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}B_{1}(t)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},\quad B_{2}(t)={\frac {w_{x}}{57.3}}{\begin{bmatrix}-1&0\\-{\acute {a}}_{1}(t)&{\frac {J_{x}-J_{y}}{J_{z}}}\\0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}C(t)={\frac {w_{x}}{57.3}}{\begin{bmatrix}57.3g&0&0\\V(t)a_{4}(t)&0&V(t)a_{5}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}D_{1}(t)=0,\quad D_{2}(t)={\frac {1}{57.3g}}{\begin{bmatrix}0&0\\V(t)b_{7}(t)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中，$a_{1}(t)\sim a_{6}(t),\quad b_{1}(t)\sim b_{7}(t),{\acute {a}}_{1}(t),{\acute {b}}_{1}(t)$ 和 $c_{1}(t)\sim c_{4}(t)$ 是系統引數。此外，$V$ 是導彈的速度，$J_{x}$，$J_{y}$ 和 $J_{z}$ 是導彈相對於機體座標的轉動慣量。

最佳化問題

最佳化問題是找到一個狀態反饋控制律 $u=Kx$ 使得

1. 閉環系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+B_{1}K)x+B_{2}d\\z&=(C+D_{1}K)x+D_{2}d\end{aligned}}$

是穩定的。

2. 傳遞函式的 $H_{\infty }$ 範數

$G_{zd}(s)=(C+D_{1}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+D_{2}$

小於一個正標量值，$\gamma$。因此

$||G_{zd}(s)||_{\infty }<\gamma$

LMI： 非旋轉導彈姿態控制的LMI

利用[1]中的定理8.1，該問題可以等效地用以下形式表示

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\text{s.t.}}\quad X>0\\&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(CX+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma I&D_{2}^{T}\\CX+D_{1}W&D_{2}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

結論

如前所述，目標是衰減對導彈效能的干擾。引數 $\gamma$ 是干擾衰減水平。當矩陣 $W$ 和 $X$ 在最佳化問題中確定後，控制器增益矩陣可以透過以下方式計算：

$K=WX^{-1}$

實現

GitHub 倉庫中提供了該問題的 Matlab 程式碼連結

https://github.com/asalimil/LMI-for-Non-rotating-Missle-Attitude-Control

相關 LMI

用於非旋轉導彈姿態控制的 LMI，偏航/滾動通道

外部連結

• [1] - 控制系統分析、設計與應用中的 LMI

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