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用於分散反饋控制的LMI

在大型系統中，例如多智慧體機器人系統、國民經濟或化工廠，執行器應根據區域性資訊採取行動，這需要分散或分散式控制策略。在分散控制框架中，控制器是分散式的，每個控制器只能訪問區域性測量值的一部分。我們描述了用於一般分散控制框架的LMI公式，然後提供了一個分散控制設計的說明性示例。

系統

在分散控制器設計中，狀態反饋控制器 $u=Kx$ 可以分為 $n$ 個子控制器 $u_{i}=K_{i}x_{i},\quad i=1,2,...,n$.

資料

線性時不變系統的通用狀態空間表示如下

${\begin{aligned}&{\dot {x}}=Ax+Bu\\&y=Cx+Du\end{aligned}}$

其中 $x$ 是一個 $n\times n$ 維狀態變數向量，$B$ 是輸入矩陣，$C$ 是輸出矩陣，$D$ 被稱為前饋矩陣。我們假設所有四個矩陣，$A$，$B$，$C$ 和 $D$ 是給定的。

最佳化問題

我們的目標是使用控制器 $u=Kx$ 解決 $H_{\infty }$-最優全狀態反饋控制問題。

以去中心化的方式，控制輸入 $u$ 可以被分成子控制器 $u_{1},u_{2},...,u_{j}$，可以寫成 $u=[u_{1}\quad u_{2}\quad ...\quad u_{j}]_{1\times n}^{\text{T}}$。

例如，設 $j=3$ 且 $n=6$。因此，存在三個控制輸入 $u_{1}$，$u_{2}$ 以及 $u_{3}$。我們還假設 u_{1} 僅依賴於第一個和第二個狀態，而 $u_{2}$ 和 $u_{3}$ 僅依賴於第三到第六個狀態。對於這個例子，控制器增益矩陣可以描述為

$K={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}&0&0&0&0\\0&0&k_{3}&k_{4}&k_{5}&k_{6}\\0&0&k_{7}&k_{8}&k_{9}&k_{10}\\\end{bmatrix}}$

因此，去中心化控制器增益由增益子矩陣組成。

LMI： 用於去中心化反饋控制器的 LMI

去中心化最優全狀態反饋控制器的 LMI 公式的數學描述可以描述為

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\begin{bmatrix}YA^{\text{T}}+AY+Z^{\text{T}}B_{2}^{\text{T}}+B_{2}Z&*^{T}&*^{T}\\B_{1}^{T}&-\gamma I&*^{T}\\YC_{1}^{T}+Z^{T}D_{12}&D_{11}&-\gamma I\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中 $Y>0$ 是一個正定矩陣，且 $Z$ 使得上述 LMI 中的約束條件得到滿足。

結論

控制器增益矩陣定義為

$K={\begin{bmatrix}0&0\\0&F\end{bmatrix}}$

其中 $F$ 可以透過求解LMI並獲得變數矩陣 $Y$ 和 $Z$ 來求得。因此，

$F=ZY^{-1}$.

實現

Github 倉庫中關於此問題的 Matlab 程式碼連結

https://github.com/asalimil/LMI_for_decentralized_feedback_controller/tree/master

外部連結

一個列出記錄和驗證 LMI 的參考文獻的列表。

• [1] - 控制系統分析、設計與應用中的 LMI

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