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混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 輸出反饋控制器

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 輸出反饋控制一直被認為是多目標最優控制問題的一個例子。在這個問題中，控制反饋應該對多個規範做出適當的響應。在 $H_{2}/H_{\infty }$ 控制器中，$H_{\infty }$ 通道用於提高設計的魯棒性，而 $H_{2}$ 通道保證了系統的良好效能。

系統

我們考慮線性系統的以下狀態空間表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu\\y&=Cx+Du\end{aligned}}$

其中 $A$，$B$，$C$ 和 $D$ 分別是狀態矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和前饋矩陣。

這些是系統（工廠）矩陣，可以表示為 $P=(A,B,C,D)$.

資料

我們假設工廠的所有四個矩陣 $A,B,C,D$ 是已知的。

最佳化問題

在這個問題中，我們使用 LMI 來制定和解決最優輸出反饋問題，以最小化 <> 和 <> 範數。對每個範數賦予相同的權重，我們將得到以下形式的最佳化問題

${\begin{aligned}{\text{min}}\quad ||S(P,K)||_{H_{2}}^{2}+||S(P,K)||_{H_{\infty }}^{2}\end{aligned}}$

LMI：混合 $H_{2}$/$H_{\infty }$ 的 LMI

混合 $H_{2}$/$H_{\infty }$ 最優輸出反饋問題的數學描述如下：

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}\\&{\text{s.t.}}\\&{\begin{bmatrix}X_{1}&I\\I&Y_{1}\end{bmatrix}}>0\\&{\begin{bmatrix}AY_{1}+Y_{1}A^{\text{T}}+B_{2}C_{n}+C_{n}B_{2}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\A^{\text{T}}+A_{n}+(B_{2}D_{n}C_{2})^{\text{T}}&X_{1}A+A^{\text{T}}+B_{n}C_{2}+C_{2}^{\text{T}}B_{n}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\(B_{1}+B_{2}D_{n}D_{21})^{\text{T}}&(X_{1}B_{1}+B_{n}D_{21})^{\text{T}}&-\gamma I&*^{\text{T}}\\C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n}&C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2}&D_{11}+D_{12}D_{n}D_{21}&-\gamma I\\\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}Y_{1}&I&(C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n})^{\text{T}}\\I&X_{1}&(C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2})^{\text{T}}\\(C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n})&(C_{1}+D_{12}D_{n}D_{21}&Z\\C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n}&C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2}&D_{11}+D_{12}D_{n}D_{21}&-\gamma I\\\end{bmatrix}}>0\\&{\begin{bmatrix}AY_{1}+Y_{1}A^{\text{T}}+B_{2}C_{n}+C_{n}{\text{T}}B_{2}{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\(A^{\text{T}}+An+(B_{2}*D_{n}*C_{2})^{\text{T}})&X_{1}A+A^{\text{T}}X_{1}+B_{n}C_{2}+C_{2}^{\text{T}}B_{n}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\(B_{1}+B_{2}D_{n}D_{21})^{\text{T}}&(X_{1}B_{1}+B_{n}D_{21})^{\text{T}}&-\gamma _{2}^{2}I&*^{\text{T}}\\(C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n})&(C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2})&(D_{11}+D_{12}D_{n}*D_{21})&-I\\\end{bmatrix}}<0\\&{\text{trace}}(Z)<\gamma _{1}^{2}\\&D_{11}+D_{12}D_{n}D_{21}=0\end{aligned}}$

其中 $\gamma _{1}^{2}$ 和 $\gamma _{1}^{2}$ 定義為系統的 $H_{2}$ 範數和 $H_{\infty }$ 範數

${\begin{aligned}&||S(P,K)||_{H_{2}}^{2}=\gamma _{1}^{2}\\&||S(P,K)||_{H_{\infty }}^{2}=\gamma _{2}^{2}\end{aligned}}$

此外，$X_{1}$，$Y_{1}$，$A_{n}$，$B_{n}$，$C_{n}$ 和 $D_{n}$ 是在求解 LMI 後找到的具有適當維度的可變矩陣。

結論

計算得到的標量 $\gamma _{1}^{2}$ 和 $\gamma _{2}^{2}$ 分別是系統的 $H_{2}$ 範數和 $H_{\infty }$ 範數。因此，混合 $H_{2}$/$H_{\infty }$ 範數定義為 $\beta =\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}$。對於每個單獨的 $H_{2}$ 範數和 $H_{\infty }$ 範數的結果表明，與單獨求解的情況相比，它們的值更大。

實現

GitHub 倉庫中包含此問題的 Matlab 程式碼連結

https://github.com/asalimil/LMI_for_Mixed_H2_Hinf_Output_Feedback_Controller

外部連結

• [1] - LMI 在控制系統分析、設計和應用中的應用

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