控制中的LMI / pages / 線性系統時滯穩定性LMI

具有區間時變延遲的線性系統的指數穩定性的LMI條件

對於經歷時變延遲的系統，其中延遲是有界的，本節中的可行性LMI可用於確定該系統是否為$\alpha$-指數穩定。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Dx(t-h(t)),&t\in \mathbb {R} ^{+},\\x(t)&=\phi (t),&t\in [-h_{2},0],\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是狀態，$A,D\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 是時滯動力學的矩陣，$\phi (t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是初始函式，其範數為$\|\phi \|=sup_{-{\bar {h}}\leq t\leq 0}\{\|\phi (t)\|,\|{\dot {\phi }}(t)\|\}$，並且它是$[-h_{2},0]$ 上的可微連續函式。時變延遲函式$h(t)$ 滿足

$0\leq h_{1}\leq h(t)\leq h_{2},t\in \mathbb {R} ^{+},$

資料

矩陣$(A,D)$ 是已知的，時變延遲的邊界$(h_{1},h_{2})$ 也是已知的。

最佳化問題

對於給定的 $\alpha >0$，上述系統零解是 $\alpha$-指數穩定，如果存在一個正數 $N>0$ 使得每一個解 $x(t,\phi )$ 滿足以下條件

$\|x(t,\phi )\|\leq Ne^{-\alpha t}\|\phi \|,\forall t\in \mathbb {R} ^{+}$

LMI: $\alpha$-穩定性條件

以下可行性LMI可用於檢查系統是否為 $\alpha$-指數穩定，對於給定的 $\alpha >0$

${\begin{aligned}&{\text{Find}}\;P,Q,R,U,S_{i},{\text{ where }}i=1,2,...,5:\\&\quad \quad {\begin{bmatrix}M_{11}&M_{12}&M_{13}&M_{14}&M_{15}\\*&M_{22}&0&M_{24}&S_{2}\\*&*&M_{33}&M_{34}&S_{3}\\*&*&*&M_{44}&S_{4}-S_{5}D\\*&*&*&*&M_{55}\end{bmatrix}}<0\\&{\text{where:}}\\&\quad \quad M_{11}=A^{\top }P+PA+2\alpha P-(e^{-2\alpha h_{1}}+e^{-2\alpha h_{2}})R+0.5S_{1}(I-A)+0.5(I-A^{\top })S_{1}^{\top }+2Q,\\&\quad \quad M_{12}=e^{-2\alpha h_{1}}R-S_{2}A,\quad M_{13}=e^{-2\alpha h_{2}}R-S_{3}A,\\&\quad \quad M_{14}=PD-S_{1}D-S_{4}A,\quad M_{15}=S_{1}-S_{5}A,\\&\quad \quad M_{22}=-e^{-2\alpha h_{1}}(Q+R),\quad M_{24}=S_{2}D+e^{-2\alpha h_{2}}U,\\&\quad \quad M_{33}=-e^{-2\alpha h_{1}}(Q+R+U),\quad M_{34}=-S_{3}D+e^{-2\alpha h_{2}}U,\\&\quad \quad M_{44}=0.5(S_{4}D+D^{\top }S_{4}^{\top })-e^{-2\alpha h_{2}}U,\\&\quad \quad M_{55}=S_{5}+S_{5}^{\top }+(h_{1}^{2}+h_{2}^{2})R+(h_{2}-h_{1})^{2}U,\end{aligned}}$

以上 LMI 可以與二分法結合來求解 $\alpha$.

結論

對於具有時間變化延遲間隔的系統，本節中的 LMI 可用於檢查系統是否以一定的 $\alpha$ 指數穩定。二分法可以用來計算 $\alpha$ 。

實現

為了解決可行性 LMI，需要 YALMIP 工具箱來設定可行性問題，並且需要 SeDuMi 來解決問題。以下連結展示了一個可行性問題的示例

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/Intervaled_Delay_Sys_Stability_example.m

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• LMI approach to exponential stability of linear systems with interval time-varying delays - Phat 等人撰寫的原始文章。