控制中的 LMI / 頁面 / 狀態反饋中的最小衰減率

系統

如果多面體模型中的所有子系統都具有相同的矩陣 $B$ ，則檢查二次穩定性所需的 LMI 約束數量將減少。這可以透過在系統輸入處新增 Apkarian 濾波器來實現。

最佳化問題

Apkarian 濾波器

讓我們考慮我們的 TS-LIA 模型。這可以線性地重寫為

{\dot {x}}=A(z(t))x+B(z(t))u

濾波器應該使得狀態的平衡點是輸入值，並且動態應該很快，所以我們可以假設濾波器的動態可以忽略不計（即濾波器的輸入等效於四旋翼的輸入）。一種可能的濾波器如圖所示，其中 $A_{F}$ = −100 $I_{4}$ ， $B_{F}$ = 100 $I_{4}$ 並且 $I_{4}$ ∈ $R^{4\times 4}$ 是單位矩陣。

{\dot {x_{F}}}=A_{F}x_{F}+B_{F}u_{F};y_{f}=x_{f}

.

當應用濾波器時，我們強制濾波器的輸出成為 TS-LIA 模型的新輸入（即 $u$ = $y_{F}$ )。然後，擴充套件模型是

{\dot {x_{c}}}={\begin{bmatrix}A(z(t))&B(z(t))\\0&A_{F}\\\end{bmatrix}}x_{c}+{\begin{bmatrix}0\\B_{F}\end{bmatrix}}u_{F}=A_{e}(z(t))x_{e}+B_{e}u_{f};x_{e}={\begin{bmatrix}x\\x_{F}\end{bmatrix}}

這種預濾波不會影響獲得 TS-LIA 模型的過程，因此前提變數、隸屬函式和啟用函式保持不變。

狀態反饋控制器設計

考慮擴充套件 TS-LIA 模型的狀態反饋控制律： ${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}u_{F}]$ ，其中狀態反饋控制律為： $u_{F}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))K_{i}x(t)$ ，我們得到閉環系統： ${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}\sum _{j=1}^{32}h_{j}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}K_{j}]x_{e}$

LMI

控制器的設計是透過解決涉及二次穩定性約束的 LMI 問題來完成的。如果我們想要 D-穩定，則需要以下一組 LMI 約束

L\otimes P+M\otimes P(A_{ei}+B_{e}K_{i})+MT\otimes (A_{e}i+B_{e}K_{i})^{T}P<0

∀i = 1, . . . , 32.

閉環系統的共軛復極點 s 可以寫成 $s$ = − ${\xi }\omega _{n}\pm j\omega _{d}$ ，其中 $\xi$ 是阻尼比， $\omega _{n}$ 是無阻尼固有頻率， $\omega _{d}$ 是頻率響應，定義為 $\omega _{d}=\omega _{n}$ ${\sqrt {1-\xi ^{2}}}$ 。已考慮三個不同的 LMI 區域，每個區域都與關於 $\alpha =\xi \omega _{n},\omega _{n}$ 和 $\xi$ 的效能規範相關。

最小衰減率

如果我們希望在閉環系統響應中設定最小衰減率 α，則極點應該位於以下定義的 LMI 區域內： $S_{\alpha }$ = [s = x + j y | x < − $\alpha$ ]. 其中 $\alpha$ > 0. 在這種情況下，L $_{\alpha }$ = $2\alpha$ 且 M $_{\alpha }$ = 1。

將條件應用於閉環系統，與該 LMI 區域相關的 LMI 條件為

2\alpha P+(A_{ei}+B_{e}K_{i})^{T}P+P(A_{ei}+B_{e}K_{i})<0

∀i = 1, . . . , 32.

結論

LMI 是可行的。

參考文獻

Control, A. (2016). 使用 Takagi-Sugeno 方法對四旋翼進行增益排程控制。

系統

最佳化問題

LMI

結論

相關 LMI

參考文獻